Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a forma da solução estacionária e a determine.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola que é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é mecânica vibracional e equações diferenciais. Para resolver a questão, vamos precisar aplicar métodos para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução estacionária, que representa o comportamento do sistema após um longo tempo.

Passo 2

A equação dada é:
Aqui, representa o deslocamento da massa em função do tempo . A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ).

Passo 3

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução dessa equação caracteriza o comportamento natural do sistema sem forças externas. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
Portanto, a solução homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, encontramos a solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é , assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 8

Simplificamos os termos:
Simplificando:

Passo 9

Agrupamos os termos de e :
Comparando os coeficientes:

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando por para eliminar denominadores:
Então:

Passo 11

Portanto, a solução particular é:

Passo 12

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 13

A solução estacionária é a parte da solução que não depende das condições iniciais, ou seja, a solução particular:
á

Resposta

A forma da solução estacionária é:
á

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