Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
Encontre a forma da solução estacionária e a determine.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola que é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é mecânica vibracional e equações diferenciais. Para resolver a questão, vamos precisar aplicar métodos para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução estacionária, que representa o comportamento do sistema após um longo tempo.
Passo 2
A equação dada é:
Aqui, representa o deslocamento da massa em função do tempo . A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea () e da solução particular ().
Passo 3
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução dessa equação caracteriza o comportamento natural do sistema sem forças externas. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e .
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
Portanto, a solução homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, encontramos a solução particular para a equação completa. Como o termo forçado é , assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas de :
Passo 7
Substituímos , e na equação diferencial original:
Passo 8
Simplificamos os termos:
Simplificando:
Passo 9
Agrupamos os termos de e :
Comparando os coeficientes:
Passo 10
Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando por para eliminar denominadores:
Então:
Passo 11
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 13
A solução estacionária é a parte da solução que não depende das condições iniciais, ou seja, a solução particular: