Considere um sistema massa-mola descrito pelo problema de valor inicial
u^prime prime+12 u^prime+116 u=3 sin (14 raiz3 t), u(0)=2 raiz3^5, u^prime(0)=raiz3^52
Encontre a forma da solução estacionária e a determine.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola que é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo envolvido aqui é mecânica vibracional e equações diferenciais. Para resolver a questão, vamos precisar aplicar métodos para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar a solução estacionária, que representa o comportamento do sistema após um longo tempo.

Passo 2

A equação dada é:
u^prime prime + 12 u^prime + 116 u = 3 sin(14 raiz3, t)
Aqui, representa o deslocamento da massa em função do tempo . A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ).

Passo 3

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
u^prime prime + 12 u^prime + 116 u = 0
A solução dessa equação caracteriza o comportamento natural do sistema sem forças externas. Para resolver, encontramos as raízes da equação característica:
r^2 + 12 r + 116 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde , , e .

Passo 4

Calculando o discriminante:
De
Como o discriminante é zero, temos raízes reais e iguais:
r = -122 = -14
Portanto, a solução homogênea é:
uh(t) = (C1 + C2 t) e^-14 t
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, encontramos a solução particular up(t) = A sin(14 raiz3, t) + B cos(14 raiz3, t) para a equação completa. Como o termo forçado é , assumimos uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas de up^prime(t) = 14 raiz3, A cos(14 raiz3, t) - 14 raiz3, B sin(14 raiz3, t) :
up^primeprime(t) = -(14 raiz3)^2 A sin(14 raiz3, t) - (14 raiz3)^2 B cos(14 raiz3, t)

Passo 7

Substituímos -(316) A sin(14 raiz3, t) - (316) B cos(14 raiz3, t) + 12 (14 raiz3, A cos(14 raiz3, t) - 14 raiz3, B sin(14 raiz3, t)) + 116 (A sin(14 raiz3, t) + B cos(14 raiz3, t)) = 3 sin(14 raiz3, t) , e na equação diferencial original:

Passo 8

Simplificamos os termos:
(-316 + 116) A sin(cdot) + (-316 + 116) B cos(cdot) + raiz38 A cos(cdot) - raiz38 B sin(cdot) = 3 sin(cdot)
Simplificando:
-14 A sin(cdot) - 14 B cos(cdot) + raiz38 A cos(cdot) - raiz38 B sin(cdot) = 3 sin(cdot)

Passo 9

Agrupamos os termos de (-14 A - raiz38 B) sin(cdot) + (-14 B + raiz38 A) cos(cdot) = 3 sin(cdot) e -14 A - raiz38 B = 3 e -14 B + raiz38 A = 0 :
Comparando os coeficientes:

Passo 10

Resolvemos o sistema de equações:
  1. raiz38 A = 14 B Rightarrow A = 2raiz3 B
  2. -14 (2raiz3 B) - raiz38 B = 3
Da segunda equação:
-12raiz3 B - raiz38 B = 3
Substituindo na primeira equação:
-4 B - 3 B = 24 raiz3 Rightarrow -7 B = 24 raiz3 Rightarrow B = -24 raiz37
Simplificando:
A = 2raiz3 (-24 raiz37) = -487
Multiplicando por para eliminar denominadores:
Então:

Passo 11

Portanto, a solução particular é:
up(t) = -487 sin(14 raiz3, t) - 24 raiz37 cos(14 raiz3, t)

Passo 12

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
u(t) = (C1 + C2 t) e^-14 t - 487 sin(14 raiz3, t) - 24 raiz37 cos(14 raiz3, t)

Passo 13

A solução estacionária é a parte da solução que não depende das condições iniciais, ou seja, a solução particular:
uestacionária(t) = -487 sin(14 raiz3, t) - 24 raiz37 cos(14 raiz3, t) á

Resposta

A forma da solução estacionária é:
uestacionária(t) = -487 sin(14 raiz3, t) - 24 raiz37 cos(14 raiz3, t) á

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