Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função . A gente precisa:
Esboçar as curvas de nível para os valores , , e .
No mesmo gráfico, desenhar os vetores e , ambos com origem no ponto .
Vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que é o gradiente da função para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde o valor da função é constante, ou seja, .
No nosso caso, queremos:
Para facilitar, podemos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Isso é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Então, cada valor de corresponde a um círculo diferente.
Passo 3
Vamos agora encontrar os raios dos círculos para cada valor de :
Para :
Isso representa apenas o ponto , já que o raio é zero.
Para :
Então, temos um círculo de raio .
Para :
Aqui, o raio é .
Para :
O raio será .
Então, as curvas de nível são círculos concêntricos com raios 0, 1, 2 e 3.
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Segundo o enunciado, consideramos , então:
Passo 6
Agora, precisamos esboçar os vetores no gráfico. O vetor começa no ponto e vai até o ponto , que é . Então:
O vetor é, portanto, .
Resposta
Pronto! As curvas de nível são círculos com raios 0, 1, 2 e 3 centrados na origem. No ponto , o vetor gradiente é e o vetor também é . Ao esboçar, desenhe os círculos correspondentes e os vetores partindo de no mesmo gráfico.