Seja :
© Esboce as curvas de nível de para e . Esboce também nesse mesmo gráfico, os vetores e , com e tendo como origem o ponto . Somente neste item© considere , para esboçar o vetor gradiente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com a função . A gente precisa:
  • Esboçar as curvas de nível para os valores , , e .
  • No mesmo gráfico, desenhar os vetores e , ambos com origem no ponto .
Vamos precisar entender o que são curvas de nível e o que é o gradiente da função para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas de nível. Uma curva de nível para uma função de duas variáveis, como , é o conjunto de pontos onde o valor da função é constante, ou seja, .
No nosso caso, queremos:
Para facilitar, podemos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Isso é a equação de um círculo com centro na origem e raio . Então, cada valor de corresponde a um círculo diferente.

Passo 3

Vamos agora encontrar os raios dos círculos para cada valor de :
  1. Para :
    Isso representa apenas o ponto , já que o raio é zero.
  2. Para :
    Então, temos um círculo de raio .
  3. Para :
    Aqui, o raio é .
  4. Para :
    O raio será .
Então, as curvas de nível são círculos concêntricos com raios 0, 1, 2 e 3.

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente é:

Passo 5

Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Segundo o enunciado, consideramos , então:

Passo 6

Agora, precisamos esboçar os vetores no gráfico. O vetor começa no ponto e vai até o ponto , que é . Então:
O vetor é, portanto, .

Resposta

Pronto! As curvas de nível são círculos com raios 0, 1, 2 e 3 centrados na origem. No ponto , o vetor gradiente é e o vetor também é . Ao esboçar, desenhe os círculos correspondentes e os vetores partindo de no mesmo gráfico.

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