Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
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Passo 1
Então, o que a questão está pedindo é para a gente encontrar os valores máximo e mínimo da função
, mas com a condição de que
. Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. Para isso, vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamaremos de
. Então, a função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
, e igualar todas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações que precisamos resolver.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
:
- Em relação a
(a restrição):
Passo 5
Agora, vamos substituir
,
e
em termos de
na equação da restrição:
Passo 6
Vamos considerar os dois casos para
:
- Se
:
- Se
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores de
para cada caso:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O valor máximo da função é 70 no ponto
e o valor mínimo é -70 no ponto
.