Então, o que a questão está pedindo é para a gente encontrar os valores máximo e mínimo da função , mas com a condição de que . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. Para isso, vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamaremos de . Então, a função de Lagrange fica assim:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e , e igualar todas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações que precisamos resolver.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Em relação a :
Em relação a :
Em relação a :
Em relação a (a restrição):
Passo 5
Agora, vamos substituir , e em termos de na equação da restrição:
Passo 6
Vamos considerar os dois casos para :
Se :
Se :
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores de para cada caso:
Para :
Para :
Resposta
O valor máximo da função é 70 no ponto e o valor mínimo é -70 no ponto .