Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
©

Passo 1

Então, o que a questão está pedindo é para a gente encontrar os valores máximo e mínimo da função , mas com a condição de que . Vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização com restrições. Para isso, vamos precisar montar a função de Lagrange e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Isso significa que a gente combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador que chamaremos de . Então, a função de Lagrange fica assim:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e , e igualar todas a zero. Essas derivadas vão nos dar um sistema de equações que precisamos resolver.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a :
  1. Em relação a (a restrição):

Passo 5

Agora, vamos substituir , e em termos de na equação da restrição:

Passo 6

Vamos considerar os dois casos para :
  1. Se :
  1. Se :

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores de para cada caso:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O valor máximo da função é 70 no ponto e o valor mínimo é -70 no ponto .

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