Considere que um sistema massa-mola tem o movimento descrito pela equação x = − 5 sen(10t) + 5 cos (10t), em metros. Determine a posição x da massa para o tempo igual a 0,5s.

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre sistemas massa-mola, que faz parte da matéria de Física, mais especificamente de movimentos harmônicos. A gente precisa descobrir a posição $ x $ da massa em um certo tempo usando a equação do movimento que foi dada. Para resolver isso, vamos precisar usar funções trigonométricas como seno e cosseno.

Passo 2

A equação que descreve o movimento da massa é:
x(t) = -5 sin(10t) + 5 cos(10t)
Queremos encontrar a posição $ x $ quando o tempo $ t $ é igual a 0,5 segundos.

Passo 3

Primeiro, vamos substituir o valor de $ t $ na equação:
t

Passo 4

Vamos calcular o argumento dentro das funções trigonométricas:
10 times 0,5 = 5
Então, a equação fica:
x(0,5) = -5 sin(5) + 5 cos(5)

Passo 5

Agora, precisamos calcular os valores de $ \sin(5) $ e $ \cos(5) $. Lembrando que o ângulo está em radianos.
sin(5)
cos(5)

Passo 6

Substituímos esses valores na equação:
x(0,5) = -5 times (-0,9589) + 5 times 0,2837
x(0,5) = 4,7945 + 1,4185

Passo 7

Somando os dois resultados:
x(0,5) = 6,213 metros

Resposta

A posição da massa em $ t = 0,5 $ segundos é aproximadamente $ x = 6{,}21 $ metros.

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