(
) Considere um sistema de oscilador hamônico amortecido descrito pela solução da equação
Comente sobre a situação em que
; justifique matematicamente.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma equação que descreve um sistema de oscilador harmônico amortecido:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas oscilatórios e amortecimento. Precisamos entender como o coeficiente de amortecimento (
) e a frequência natural (
) influenciam o comportamento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
Esse termo é crucial porque determina o tipo de amortecimento do sistema.
Passo 3
Vamos considerar o caso onde
. Vamos verificar o que isso significa matematicamente:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, elevando ao quadrado ambos os lados:
Dividindo por 4:
Então,
Passo 4
Como
é negativo, a raiz quadrada se torna um número imaginário. Podemos reescrever a solução
usando números complexos:
Onde
é a unidade imaginária.
Passo 5
Substituindo de volta na equação de
:
Usando a fórmula de Euler
, podemos reescrever:
Onde
.
Passo 6
Para simplificar, vamos supor que
e
são escolhidos de forma que os termos imaginários se cancelem, resultando em uma solução real:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
Quando
, o sistema apresenta amortecimento subcrítico, resultando em oscilações amortecidas. Isso ocorre porque a raiz quadrada na solução original se torna imaginária, levando a uma expressão oscilatória com amplitude decrescente ao longo do tempo.