( 2,5 pt ) Considere um sistema de oscilador hamônico amortecido descrito pela solução da equação
x(t)=a e^-gamma2 t+raizgamma^24-omega0^2 t+b e^-gamma2 t-raizgamma^24-omega0^2 t
Comente sobre a situação em que gamma / 2; justifique matematicamente.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma equação que descreve um sistema de oscilador harmônico amortecido:
x(t) = a e^-gamma2 t + raizgamma^24 - omega0^2 , t + b e^-gamma2 t - raizgamma^24 - omega0^2 , t
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas oscilatórios e amortecimento. Precisamos entender como o coeficiente de amortecimento ( gamma) e a frequência natural ( omega0) influenciam o comportamento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
gamma^24 - omega0^2
Esse termo é crucial porque determina o tipo de amortecimento do sistema.

Passo 3

Vamos considerar o caso onde gamma2 < omega0. Vamos verificar o que isso significa matematicamente:
Multiplicando ambos os lados por 2:
gamma < 2omega0
Agora, elevando ao quadrado ambos os lados:
gamma^2 < 4omega0^2
Dividindo por 4:
gamma^24 < omega0^2
Então,
gamma^24 - omega0^2 < 0

Passo 4

Como gamma^24 - omega0^2 é negativo, a raiz quadrada se torna um número imaginário. Podemos reescrever a solução x(t) usando números complexos:
raizgamma^24 - omega0^2 = iraizomega0^2 - gamma^24
Onde i é a unidade imaginária.

Passo 5

Substituindo de volta na equação de x(t):
x(t) = a e^-gamma2 t + iraizomega0^2 - gamma^24 , t + b e^-gamma2 t - iraizomega0^2 - gamma^24 , t
Usando a fórmula de Euler e^itheta = cos(theta) + isin(theta), podemos reescrever:
x(t) = e^-gamma2 t [ a (cos(omega t) + isin(omega t)) + b (cos(omega t) - isin(omega t)) ]
Onde omega = raizomega0^2 - gamma^24.

Passo 6

Para simplificar, vamos supor que a e b são escolhidos de forma que os termos imaginários se cancelem, resultando em uma solução real:
x(t) = C e^-gamma2 t cos(omega t + phi)
Onde C e phi são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

Quando gamma2 < omega0, o sistema apresenta amortecimento subcrítico, resultando em oscilações amortecidas. Isso ocorre porque a raiz quadrada na solução original se torna imaginária, levando a uma expressão oscilatória com amplitude decrescente ao longo do tempo.

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