A posição de um barco que se move ao longo de um rio é descrita pela função:
s(t)=2 t^3-9 t^2+12 t,
onde s(t) é a posição em metros e t o tempo em segundos.
Qual é o deslocamento total do barco no intervalo de t=1 s até t=3 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um barco que se move em um rio, e a posição dele em metros em função do tempo em segundos é dada por $ s(t) = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t $. Nosso objetivo é descobrir qual foi o deslocamento total do barco entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 3 $ segundos. Para isso, vamos precisar entender o que é deslocamento e como calcular usando a função posição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é deslocamento. Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de um objeto. Ou seja, é quanto o objeto realmente se moveu do ponto de partida, considerando apenas o ponto de chegada e o ponto de partida, sem levar em conta o trajeto percorrido.

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição do barco no tempo $ t = 1 $ segundo. Substituindo $ t $ na função:
t = 1
Então, no tempo de 1 segundo, o barco está na posição de 5 metros.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a posição do barco no tempo $ t = 3 $ segundos:
t = 3
Portanto, no tempo de 3 segundos, o barco está na posição de 9 metros.

Passo 5

Agora que temos as posições nos dois tempos, podemos calcular o deslocamento total. Subtraímos a posição inicial da posição final:
Deslocamento = s(3) - s(1) = 9 m - 5 m = 4 metros

Resposta

O deslocamento total do barco entre $ t = 1 $ segundo e $ t = 3 $ segundos é de 4 metros.

Exercícios relacionados