lim x 0 cos (x)-1+x^2 / 2x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para o cosseno e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expansão em série de Taylor para cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots perto de cos(x) approx 1 - x^22 + x^424 é:
Como queremos termos até , podemos aproximar por:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na expressão original:
cos(x) - 1 + x^22 approx (1 - x^22 + x^424) - 1 + x^22
Simplificando:
= 1 - x^22 + x^424 - 1 + x^22 = x^424

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
limx to 0 x^424x^4 = limx to 0 124 = 124

Resposta

O limite é .

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