Considere o sistema sob a ação da gravidade (na direção de - y ). Encontre a lagrangiana e escreva as equações de movimento (considere o zero do potencial no vértice da cicloide).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a lagrangiana de um sistema sob a ação da gravidade (que age na direção de - y) e escrever as equações de movimento. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a mecânica lagrangiana. Vamos precisar entender o que são energia cinética ( T), energia potencial ( V) e como montar a lagrangiana ( L = T - V). Além disso, vamos usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar as equações de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana ( L) é definida como a diferença entre a energia cinética ( T) e a energia potencial ( V) do sistema:
L = T - V
Então, para encontrar L, precisamos determinar T e V.

Passo 3

Vamos supor que estamos lidando com uma partícula com massa m se movendo sob a ação da gravidade. A energia cinética ( T) de uma partícula é dada por:
T = 12 m ( dotx^2 + doty^2 )
onde dotx e doty são as derivadas de x e y em relação ao tempo, ou seja, as velocidades nas direções x e y.

Passo 4

A energia potencial ( V) devido à gravidade é dada por:
V = m g y
Aqui, g é a aceleração da gravidade e y é a posição vertical da partícula. Como o potencial é zero no vértice da cicloide, estamos considerando que y=0 nesse ponto.

Passo 5

Agora, substituímos T e V na expressão da lagrangiana:
L = T - V = 12 m ( dotx^2 + doty^2 ) - m g y

Passo 6

Com a lagrangiana em mãos, podemos escrever as equações de Euler-Lagrange para cada coordenada ( x e y):
ddt ( partial Lpartial dotq ) - partial Lpartial q = 0
onde q representa cada coordenada generalizada, neste caso, x e y.

Passo 7

Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para a coordenada x:
Primeiro, calculamos partial Lpartial dotx:
partial Lpartial dotx = m dotx
Depois, calculamos ddt ( partial Lpartial dotx ):
ddt ( m dotx ) = m ddotx
Agora, partial Lpartial x é zero, já que L não depende de x explicitamente:
partial Lpartial x = 0
Assim, a equação de movimento para x fica:
m ddotx = 0 Rightarrow ddotx = 0

Passo 8

Agora, vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para a coordenada y:
Primeiro, calculamos partial Lpartial doty:
partial Lpartial doty = m doty
Depois, calculamos ddt ( partial Lpartial doty ):
ddt ( m doty ) = m ddoty
Agora, calculamos partial Lpartial y:
partial Lpartial y = -m g
Assim, a equação de movimento para y fica:
m ddoty + m g = 0 Rightarrow ddoty = -g

Resposta

A lagrangiana do sistema é:
L = 12 m ( dotx^2 + doty^2 ) - m g y
As equações de movimento são:
ddotx = 0
e
ddoty = -g

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