Considere o sistema sob a ação da gravidade (na direção de -
). Encontre a lagrangiana e escreva as equações de movimento (considere o zero do potencial no vértice da cicloide).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a lagrangiana de um sistema sob a ação da gravidade (que age na direção de -
) e escrever as equações de movimento. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente a mecânica lagrangiana. Vamos precisar entender o que são energia cinética (
), energia potencial (
) e como montar a lagrangiana (
). Além disso, vamos usar as equações de Euler-Lagrange para encontrar as equações de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana (
) é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema:
Então, para encontrar
, precisamos determinar
e
.
Passo 3
Vamos supor que estamos lidando com uma partícula com massa
se movendo sob a ação da gravidade. A energia cinética (
) de uma partícula é dada por:
onde
e
são as derivadas de
e
em relação ao tempo, ou seja, as velocidades nas direções
e
.
Passo 4
A energia potencial (
) devido à gravidade é dada por:
Aqui,
é a aceleração da gravidade e
é a posição vertical da partícula. Como o potencial é zero no vértice da cicloide, estamos considerando que
nesse ponto.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da lagrangiana:
Passo 6
Com a lagrangiana em mãos, podemos escrever as equações de Euler-Lagrange para cada coordenada (
e
):
onde
representa cada coordenada generalizada, neste caso,
e
.
Passo 7
Vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para a coordenada
:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Agora,
é zero, já que
não depende de
explicitamente:
Assim, a equação de movimento para
fica:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as equações de Euler-Lagrange para a coordenada
:
Primeiro, calculamos
:
Depois, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Assim, a equação de movimento para
fica:
Resposta
A lagrangiana do sistema é:
As equações de movimento são:
e