Resolva explicitamente as equações de movimento com as condições iniciais em que a partícula parte do repouso em um dos pontos mais baixos da hélice. Interprete fisicamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver as equações de movimento de uma partícula que começa do repouso em um dos pontos mais baixos de uma hélice. Isso está ligado à mecânica clássica, especificamente ao estudo do movimento em trajetórias curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a hélice, aplicar as leis de Newton e usar condições iniciais adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação de uma hélice. Uma hélice pode ser descrita parametricamente por:
Aqui, $ R $ é o raio da hélice, $ \theta(t) $ é o ângulo que a partícula faz no tempo $ t $, e $ c $ é uma constante que determina o quanto a hélice avança em cada volta.
Passo 3
Como a partícula está partindo do repouso, suas velocidades iniciais são zero. Ou seja, no tempo $ t = 0 $:
Isso significa que a partícula começa em $ (R, 0, 0) $ e inicialmente não tem movimento angular ou vertical.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as leis de Newton. Supondo que a única força atuando na partícula seja a gravidade, precisamos decompor essa força ao longo das direções da hélice. A força da gravidade é:
onde $ m $ é a massa da partícula e $ \vec{g} $ é a aceleração devido à gravidade.
Passo 5
Para encontrar a equação de movimento, vamos usar a segunda lei de Newton:
A aceleração $ \vec{a} $ da partícula pode ser derivada duas vezes das equações paramétricas da hélice. Calculando as derivadas:
Primeira derivada (velocidade):
Segunda derivada (aceleração):
Passo 6
Igualando $ m \vec{a} = m \vec{g} $, temos:
O terceiro componente nos dá uma contradição se considerarmos $ g \neq 0 $. Isso indica que precisamos reconsiderar as forças atuantes na partícula. Além da gravidade, devemos incluir a força de constrição que mantém a partícula na hélice.
Passo 7
Vamos introduzir a força normal $ \vec{N} $ que a hélice exerce na partícula para mantê-la na trajetória. A força resultante na direção $ z $ será:
Como na hélice $ z(t) = c t $, temos:
Portanto,
Passo 8
Voltando às equações de movimento nas direções $ x $ e $ y $, com a força normal compensando a gravidade, as equações simplificam para:
Podemos dividir a primeira equação por $ R \cos(\theta) $ e a segunda por $ R \sin(\theta) $ (assumindo que $ \cos(\theta) $ e $ \sin(\theta) $ não são zero simultaneamente):
Passo 9
Subtraindo as duas equações para eliminar $ \dot{\theta}^2 $:
Isso implica que $ \ddot{\theta} = 0 $, já que $ - \tan(\theta) - \cot(\theta) \neq 0 $ para $ \theta \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} $, onde $ k $ é inteiro.
Passo 10
Com $ \ddot{\theta} = 0 $, a equação mostra que $ \dot{\theta} $ é constante. Integrando:
Aplicando a condição inicial $ \dot{\theta}(0) = 0 $:
Como a partícula parte de um ponto específico, podemos definir $ \theta_0 = 0 $. Assim:
Passo 11
Portanto, as equações de movimento são:
Isso significa que a partícula permanece fixa na posição $ (R, 0) $ no plano $ xy $ e se move apenas na direção $ z $ com velocidade constante $ c $.
Resposta
A partícula permanece fixa na posição $ (R, 0) $ no plano horizontal e se desloca verticalmente com velocidade constante. As equações de movimento são:
Fisicamente, isso significa que, partindo do repouso no ponto mais baixo da hélice, a partícula não se move horizontalmente e apenas avança verticalmente com velocidade constante.