Mostre que a variável
realiza movimento harmônico simples e integre a equação de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a variável
realiza um movimento harmônico simples (MHS) e, depois, integrar a equação de movimento dessa variável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um movimento harmônico simples e como relacionar isso à expressão dada para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um movimento harmônico simples. Um objeto está em MHS quando ele oscila para frente e para trás em torno de uma posição de equilíbrio, com uma aceleração proporcional e oposta ao deslocamento. Matematicamente, isso é descrito pela equação diferencial:
onde $ \omega $ é a frequência angular e $ x $ é o deslocamento.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão dada para
:
Assumindo que
é uma função do tempo que descreve o ângulo de oscilação, queremos mostrar que
satisfaz a equação de um MHS.
Passo 4
Para isso, precisamos encontrar a segunda derivada de
em relação ao tempo e ver se ela se encaixa na forma da equação do MHS. Então, vamos derivar
duas vezes:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Para simplificar, assumimos que as oscilações são pequenas, ou seja,
é pequeno. Nesse caso, podemos usar a aproximação
e
. Assim, a expressão para
fica:
E suas derivadas:
Passo 6
Substituindo essas aproximações na equação da segunda derivada de
:
Agora, se
também estiver realizando um MHS, temos:
Substituindo na equação de
:
Passo 7
Vimos que a segunda derivada de
é proporcional a
, ou seja:
Essa é exatamente a equação de um movimento harmônico simples! Portanto, mostramos que
realiza um movimento harmônico simples.
Passo 8
Agora, vamos integrar a equação de movimento para encontrar a expressão de
. A equação que temos é:
A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.
Resposta
A variável
realiza um movimento harmônico simples cuja solução geral é:
onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.