Mostre que a variável eta=sen phi / 2 realiza movimento harmônico simples e integre a equação de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a variável eta = sin phi2 realiza um movimento harmônico simples (MHS) e, depois, integrar a equação de movimento dessa variável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um movimento harmônico simples e como relacionar isso à expressão dada para eta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um movimento harmônico simples. Um objeto está em MHS quando ele oscila para frente e para trás em torno de uma posição de equilíbrio, com uma aceleração proporcional e oposta ao deslocamento. Matematicamente, isso é descrito pela equação diferencial:
d^2xdt^2 = -omega^2 x
onde $ \omega $ é a frequência angular e $ x $ é o deslocamento.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão dada para eta:
eta = sin phi2
Assumindo que phi é uma função do tempo que descreve o ângulo de oscilação, queremos mostrar que eta satisfaz a equação de um MHS.

Passo 4

Para isso, precisamos encontrar a segunda derivada de eta em relação ao tempo e ver se ela se encaixa na forma da equação do MHS. Então, vamos derivar eta duas vezes:
Primeira derivada:
detadt = cos phi2 cdot dphidt
Segunda derivada:
d^2etadt^2 = -sin phi2 ( dphidt )^2 + cos phi2 cdot d^2phidt^2

Passo 5

Para simplificar, assumimos que as oscilações são pequenas, ou seja, phi é pequeno. Nesse caso, podemos usar a aproximação sin phi approx phi e cos phi approx 1. Assim, a expressão para eta fica:
eta approx phi2
E suas derivadas:
detadt approx 12 dphidt
d^2etadt^2 approx 12 d^2phidt^2

Passo 6

Substituindo essas aproximações na equação da segunda derivada de eta:
d^2etadt^2 approx 12 d^2phidt^2
Agora, se phi também estiver realizando um MHS, temos:
d^2phidt^2 = -omega^2 phi
Substituindo na equação de d^2etadt^2:
d^2etadt^2 = -omega^2 cdot phi2 = -omega^2 eta

Passo 7

Vimos que a segunda derivada de eta é proporcional a -eta, ou seja:
d^2etadt^2 = -omega^2 eta
Essa é exatamente a equação de um movimento harmônico simples! Portanto, mostramos que eta realiza um movimento harmônico simples.

Passo 8

Agora, vamos integrar a equação de movimento para encontrar a expressão de eta(t). A equação que temos é:
d^2etadt^2 + omega^2 eta = 0
A solução geral dessa equação é:
eta(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Resposta

A variável eta = sin phi2 realiza um movimento harmônico simples cuja solução geral é:
eta(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do sistema.

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