Mostre que a lagrangiana nessas coordenadas pode ser escrita como
onde
. Obtenha a Hamiltoniana correspondente. (Exercício tirado das notas do Marcus Aguiar).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que mostrar que a lagrangiana, usando certas coordenadas, pode ser escrita como
onde
. Depois, precisamos encontrar a Hamiltoniana correspondente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma lagrangiana, como ela é expressa em termos de coordenadas generalizadas, e como passar da lagrangiana para a Hamiltoniana usando transformadas canônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana $ L $ é uma função que descreve a dinâmica de um sistema físico. Ela é definida como a diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
No nosso caso, a energia cinética está sendo modificada por um termo que envolve
, o que sugere que estamos lidando com um sistema em rotação.
Passo 3
A expressão dada para a lagrangiana é:
Aqui, $ \dot{\vec{q}} $ é a derivada da coordenada generalizada $ \vec{q} $ em relação ao tempo, representando a velocidade. O termo $ \vec{\Omega} \times \vec{q} $ introduz uma rotação com velocidade angular $ \vec{\Omega} $.
A energia cinética efetiva inclui tanto a velocidade real $ \dot{\vec{q}} $ quanto a contribuição da rotação $ \vec{\Omega} \times \vec{q} $.
Passo 4
Agora, para obter a Hamiltoniana $ H $, precisamos usar a relação de Legendre entre a lagrangiana e a Hamiltoniana:
onde $ \vec{p} $ é o momento conjugado, definido por:
Vamos calcular $ \vec{p} $:
Agora, resolvemos para $ \dot{\vec{q}} $:
Substituindo na expressão da Hamiltoniana:
Simplificando:
Resposta
A Hamiltoniana correspondente é