Mostre que a lagrangiana nessas coordenadas pode ser escrita como
L=m2[dotq+(Omega times q)]^2+G M mq
onde Omega=Omega z. Obtenha a Hamiltoniana correspondente. (Exercício tirado das notas do Marcus Aguiar).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos que mostrar que a lagrangiana, usando certas coordenadas, pode ser escrita como
L=m2[dotq+(Omega times q)]^2+G M mq
onde Omega = Omega z. Depois, precisamos encontrar a Hamiltoniana correspondente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma lagrangiana, como ela é expressa em termos de coordenadas generalizadas, e como passar da lagrangiana para a Hamiltoniana usando transformadas canônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana $ L $ é uma função que descreve a dinâmica de um sistema físico. Ela é definida como a diferença entre a energia cinética $ T $ e a energia potencial $ V $:
L
No nosso caso, a energia cinética está sendo modificada por um termo que envolve T , o que sugere que estamos lidando com um sistema em rotação.

Passo 3

A expressão dada para a lagrangiana é:
L=m2[dotq+(Omega times q)]^2+G M mq
Aqui, $ \dot{\vec{q}} $ é a derivada da coordenada generalizada $ \vec{q} $ em relação ao tempo, representando a velocidade. O termo $ \vec{\Omega} \times \vec{q} $ introduz uma rotação com velocidade angular $ \vec{\Omega} $.
A energia cinética efetiva inclui tanto a velocidade real $ \dot{\vec{q}} $ quanto a contribuição da rotação $ \vec{\Omega} \times \vec{q} $.

Passo 4

Agora, para obter a Hamiltoniana $ H $, precisamos usar a relação de Legendre entre a lagrangiana e a Hamiltoniana:
H
onde $ \vec{p} $ é o momento conjugado, definido por:
H = p cdot dotq - L
Vamos calcular $ \vec{p} $:
p
Agora, resolvemos para $ \dot{\vec{q}} $:
p = partial Lpartial dotq
Substituindo na expressão da Hamiltoniana:
p
Simplificando:
p = partialpartial dotq ( m2[dotq+(Omega times q)]^2 ) = m[dotq + (Omega times q)]
dotq

Resposta

A Hamiltoniana correspondente é
H = p^,22m - p cdot (Omega times q) - G M mq

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