Considere um sistema com 3 tipos de partículas diferentes. Escreva o diferencial d U e utilize a primeira e a segunda leis combinadas para obter a relação de Gibbs-Duhem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o diferencial da energia interna, , para um sistema que tem 3 tipos diferentes de partículas. Depois, usando a primeira e a segunda leis da termodinâmica juntas, vamos chegar na relação de Gibbs-Duhem. Para resolver isso, precisamos lembrar como expressamos e entender como as leis da termodinâmica se aplicam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o diferencial da energia interna, dU = T,dS - P,dV + mu1,dN1 + mu2,dN2 + mu3,dN3 . Em termodinâmica, a energia interna depende de várias variáveis, como a entropia , o volume e as quantidades das partículas , e . Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Aqui, é a temperatura, a pressão, e , , são os potenciais químicos das três partículas diferentes.

Passo 3

Agora, vamos usar a primeira e a segunda leis da termodinâmica para avançar. A primeira lei é sobre conservação de energia e nos dá a expressão que acabamos de escrever para S,dT - V,dP + N1,dmu1 + N2,dmu2 + N3,dmu3 = 0 . A segunda lei, por sua vez, nos diz que a variação da entropia está relacionada à transferência de calor e trabalho.
A relação de Gibbs-Duhem surge ao considerar que, em um sistema extensivo em equilíbrio, a energia interna é uma função homogênea de primeira ordem. Isso significa que se aumentarmos todas as variáveis extensivas por um fator, a energia interna também aumenta por esse fator.
Matematicamente, para sistemas com 3 componentes, a relação de Gibbs-Duhem é dada por:
Essa equação relaciona as variações das grandezas intensivas do sistema quando há equilíbrio termodinâmico.

Resposta

A relação de Gibbs-Duhem para o sistema com 3 tipos de partículas é:
S,dT - V,dP + N1,dmu1 + N2,dmu2 + N3,dmu3 = 0

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