Considere um sistema com 3 tipos de partículas diferentes. Escreva o diferencial
e utilize a primeira e a segunda leis combinadas para obter a relação de Gibbs-Duhem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente escrever o diferencial da energia interna,
, para um sistema que tem 3 tipos diferentes de partículas. Depois, usando a primeira e a segunda leis da termodinâmica juntas, vamos chegar na relação de Gibbs-Duhem. Para resolver isso, precisamos lembrar como expressamos
e entender como as leis da termodinâmica se aplicam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o diferencial da energia interna,
. Em termodinâmica, a energia interna depende de várias variáveis, como a entropia
, o volume
e as quantidades das partículas
,
e
. Então, podemos expressar
da seguinte maneira:
Aqui,
é a temperatura,
a pressão, e
,
,
são os potenciais químicos das três partículas diferentes.
Passo 3
Agora, vamos usar a primeira e a segunda leis da termodinâmica para avançar. A primeira lei é sobre conservação de energia e nos dá a expressão que acabamos de escrever para
. A segunda lei, por sua vez, nos diz que a variação da entropia está relacionada à transferência de calor e trabalho.
A relação de Gibbs-Duhem surge ao considerar que, em um sistema extensivo em equilíbrio, a energia interna é uma função homogênea de primeira ordem. Isso significa que se aumentarmos todas as variáveis extensivas por um fator, a energia interna também aumenta por esse fator.
Matematicamente, para sistemas com 3 componentes, a relação de Gibbs-Duhem é dada por:
Essa equação relaciona as variações das grandezas intensivas do sistema quando há equilíbrio termodinâmico.
Resposta
A relação de Gibbs-Duhem para o sistema com 3 tipos de partículas é: