Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
(a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solução única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor ou os valores de que fazem com que o sistema tenha uma solução única. Estamos lidando com Álgebra Linear, mais especificamente com sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar analisar a matriz dos coeficientes e verificar quando ela é invertível, ou seja, quando seu determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para um sistema linear ter uma solução única, a matriz dos coeficientes precisa ser inversível. Isso acontece quando o determinante de é diferente de zero ( ). Então, nosso objetivo é calcular e encontrar os valores de que satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 :
det(A) = 1 cdot det -1 & 5 1 & a^2-16 - 2 cdot det 3 & 5 4 & a^2-16 + (-3) cdot det 3 & -1 4 & 1
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores na primeira linha:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um desses determinantes menores:
det -1 & 5 1 & a^2-16 = (-1)(a^2-16) - (5)(1) = -a^2 + 16 - 5 = -a^2 + 11
det 3 & 5 4 & a^2-16 = (3)(a^2-16) - (5)(4) = 3a^2 - 48 - 20 = 3a^2 - 68
det 3 & -1 4 & 1 = (3)(1) - (-1)(4) = 3 + 4 = 7

Passo 5

Substituindo esses valores de volta na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot (-a^2 + 11) - 2 cdot (3a^2 - 68) + (-3) cdot 7
Vamos simplificar isso passo a passo:
det(A) = (-a^2 + 11) - 2(3a^2 - 68) - 21
det(A) = -a^2 + 11 - 6a^2 + 136 - 21
det(A) = -7a^2 + 126

Passo 6

Para que o sistema tenha solução única, precisamos que -7a^2 + 126 neq 0 :
-7a^2 + 126 neq 0 Rightarrow -7a^2 neq -126 Rightarrow a^2 neq 18 Rightarrow a neq raiz18 e a neq -raiz18
Vamos resolver essa inequação:
raiz18 = 3raiz2 Rightarrow a neq 3raiz2 e a neq -3raiz2
Simplificando a raiz:

Resposta

Os valores de que garantem que o sistema tenha solução única são todos os números reais exceto e .

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