Dada uma matriz A=C D onde C^-1=[ll3 & 2 1 & 3] e D^-1=[rr2 & 5 3 & -2], resolva o sistema A X=B, sabendo-se que B=[c-1 0].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz C^-1 = 3 & 2 1 & 3 e D^-1 = 2 & 5 3 & -2 que é o produto de duas matrizes -1 0 e , ou seja, . As inversas dessas matrizes são dadas por:
Precisamos resolver o sistema , onde . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para resolver o sistema A^-1 A X = A^-1 B implies I X = A^-1 B implies X = A^-1 B , queremos encontrar . A maneira mais direta é multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , ou seja:
Aqui, é a matriz identidade, que não altera . Portanto, precisamos encontrar .

Passo 3

Sabemos que A^-1 = (C D)^-1 = D^-1 C^-1 . Para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de matrizes inversas que diz que:
Isso significa que multiplicamos as inversas de e na ordem inversa.

Passo 4

Vamos calcular D^-1 = 2 & 5 3 & -2 e C^-1 = 3 & 2 1 & 3 . Primeiro, escrevemos as duas matrizes inversas:
A^-1 = D^-1 C^-1 = 2 & 5 3 & -2 3 & 2 1 & 3
Agora, multiplicamos A^-1 = 11 & 19 7 & 0 por :
Calculando cada elemento da nova matriz:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Portanto,

Passo 5

Agora que temos X = A^-1 B = 11 & 19 7 & 0 -1 0 , vamos encontrar multiplicando por :
Calculando cada elemento de :
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:

Resposta

A solução do sistema é:
X = -11 -7

Exercícios relacionados

Considere o sistema A X=B, com
A=(rrc 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-16 ) e B=(c 4 2 a+14 )
(a) Determine o valor (ou valores) de a para que o sistema tenha solução única.
Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respetivas matrizes na forma escada.
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 ) ;(ccccc 1 & 0 & 0 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ) ;(cccc 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 ) ;(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 )
Calcule os determinantes das matrizes:
a) (ccsen alpha & cos alpha sen beta & cos beta);
Determinar m para que as retas r1 e r2 sejam ortogonais.
r1:(x, y, z)=(-3,1,0)+t(2 m, 3,-4), t in R e r2:(x, y, z)=(-1,0,4)+t(2,1,-1), t in R.