Dada uma matriz onde e , resolva o sistema , sabendo-se que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz que é o produto de duas matrizes e , ou seja, . As inversas dessas matrizes são dadas por:
Precisamos resolver o sistema , onde . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Para resolver o sistema , queremos encontrar . A maneira mais direta é multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , ou seja:
Aqui, é a matriz identidade, que não altera . Portanto, precisamos encontrar .
Passo 3
Sabemos que . Para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de matrizes inversas que diz que:
Isso significa que multiplicamos as inversas de e na ordem inversa.
Passo 4
Vamos calcular . Primeiro, escrevemos as duas matrizes inversas:
Agora, multiplicamos por :
Calculando cada elemento da nova matriz:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Portanto,
Passo 5
Agora que temos , vamos encontrar multiplicando por :