Dada uma matriz A=C D onde C^-1=[ll3 & 2 1 & 3] e D^-1=[rr2 & 5 3 & -2], resolva o sistema A X=B, sabendo-se que B=[c-1 0].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz C^-1 = 3 & 2 1 & 3 e D^-1 = 2 & 5 3 & -2 que é o produto de duas matrizes -1 0 e , ou seja, . As inversas dessas matrizes são dadas por:
Precisamos resolver o sistema , onde . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para resolver o sistema A^-1 A X = A^-1 B implies I X = A^-1 B implies X = A^-1 B , queremos encontrar . A maneira mais direta é multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , ou seja:
Aqui, é a matriz identidade, que não altera . Portanto, precisamos encontrar .

Passo 3

Sabemos que A^-1 = (C D)^-1 = D^-1 C^-1 . Para encontrar a inversa de , usamos a propriedade de matrizes inversas que diz que:
Isso significa que multiplicamos as inversas de e na ordem inversa.

Passo 4

Vamos calcular D^-1 = 2 & 5 3 & -2 e C^-1 = 3 & 2 1 & 3 . Primeiro, escrevemos as duas matrizes inversas:
A^-1 = D^-1 C^-1 = 2 & 5 3 & -2 3 & 2 1 & 3
Agora, multiplicamos A^-1 = 11 & 19 7 & 0 por :
Calculando cada elemento da nova matriz:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Portanto,

Passo 5

Agora que temos X = A^-1 B = 11 & 19 7 & 0 -1 0 , vamos encontrar multiplicando por :
Calculando cada elemento de :
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:

Resposta

A solução do sistema é:
X = -11 -7

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