Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). A única matriz simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “A única matriz simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.” Vamos trabalhar com os conceitos de matriz simétrica e matriz anti-simétrica para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é uma matriz simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja:
Isso significa que os elementos em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais.
Passo 3
Agora, vamos definir uma matriz anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se ela é igual ao negativo da sua transposta, ou seja:
Isso implica que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são opostos.
Passo 4
Se uma matriz é tanto simétrica quanto anti-simétrica, então:
Combinando essas duas igualdades:
Somando aos dois lados da equação:
Portanto, a única matriz que satisfaz ambas as condições é a matriz nula.