Responda falso ou verdadeiro a cada uma das afirmações abaixo (justifique suas respostas). A única matriz n times n simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A afirmação é: “A única matriz n times n simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo é a matriz nula.” Vamos trabalhar com os conceitos de matriz simétrica e matriz anti-simétrica para verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos começar definindo o que é uma matriz simétrica. Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja:
A = A^T
Isso significa que os elementos em posições simétricas em relação à diagonal principal são iguais.

Passo 3

Agora, vamos definir uma matriz anti-simétrica. Uma matriz A é anti-simétrica se ela é igual ao negativo da sua transposta, ou seja:
A = -A^T
Isso implica que os elementos simétricos em relação à diagonal principal são opostos.

Passo 4

Se uma matriz A é tanto simétrica quanto anti-simétrica, então:
A = A^T e A = -A^T
Combinando essas duas igualdades:
A = -A
Somando A aos dois lados da equação:
A + A = 0 Rightarrow 2A = 0 Rightarrow A = 0
Portanto, a única matriz que satisfaz ambas as condições é a matriz nula.

Resposta

Verdadeiro.

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