Para a equação de movimento para r, é conveniente a utilização de coordenadas plano-polares (Por quê?). Encontre as equações de movimento em r e theta. Obtenha theta(t) e r(t). Que constantes de movimento foram usadas para a obtenção de theta (t) e r (t) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a equação de movimento para um vetor posição usando coordenadas plano-polares. Coordenadas plano-polares são legais porque facilitam quando o movimento tem alguma simetria circular ou radial. Então, pra resolver isso, a gente precisa entender como expressar as equações de movimento nas direções (distância) e (ângulo). Vamos precisar das leis de Newton e das equações de movimento em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas plano-polares, a posição de uma partícula é descrita por v = dotr er + r dottheta etheta e a = (ddotr - r dottheta^2) er + (r ddottheta + 2 dotr dottheta) etheta . As componentes da velocidade e aceleração nesses termos são um pouco diferentes das coordenadas cartesianas.
A velocidade em coordenadas polares é dada por:
E a aceleração é:
Essas expressões vêm da derivada do vetor posição e levam em conta como e mudam no tempo.

Passo 3

Agora, aplicando a segunda lei de Newton, m (ddotr - r dottheta^2) = Fr , temos que:
m (r ddottheta + 2 dotr dottheta) = Ftheta
Onde e são as componentes da força nas direções e .

Passo 4

O enunciado não especifica a força, mas geralmente, para simplificar, consideramos forças conservativas ou centrípetas. Suponhamos que a força seja apenas radial, então m (r ddottheta + 2 dotr dottheta) = 0 . Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver a equação angular:
r ddottheta + 2 dotr dottheta = 0
Podemos reescrever essa equação como:
ddt(r^2 dottheta) = 0
Integrando, obtemos:
r^2 dottheta = L
Onde é uma constante, que representa o momento angular da partícula.

Passo 6

Agora, vamos para a equação radial:
m (ddotr - r dottheta^2) = Fr
Substituindo m ddotr - m r ( Lr^2 )^2 = Fr :
m ddotr - m L^2r^3 = Fr
Simplificando:

Passo 7

Para resolver essa equação diferencial, precisamos conhecer a forma de . Se supormos que a força é central e derivada de um potencial, podemos integrar para encontrar . No entanto, sem detalhes adicionais sobre , podemos deixar a solução geral da equação.

Passo 8

Assumindo que Fr = -dUdr seja derivada de um potencial m ddotr - m L^2r^3 = -dUdr , temos:
E a equação radial se torna:
Essa equação pode ser resolvida para dependendo da forma específica de .

Passo 9

Para encontrar dottheta = Lr^2 , usamos a relação que já encontramos:
theta(t) = theta0 + integral Lr(t)^2 dt
Integrando:
Onde é a constante de integração representando a posição angular inicial.

Passo 10

As constantes de movimento que usamos foram , o momento angular, que é constante devido à ausência de torques externos, e a energia total do sistema, que pode ser uma constante dependendo de . Essas constantes nos ajudam a determinar e .

Resposta

Encontramos que theta(t) = theta0 + integral Lr(t)^2 dt é dado por:
m ddotr - m L^2r^3 = -dUdr
E a equação radial é:
As constantes de movimento utilizadas foram o momento angular e, dependendo do potencial , a energia total do sistema. Essas constantes permitem determinar as funções e .

Exercícios relacionados

Considere a situação geral de 2 corpos de massas m1 e m2 cuja força de interação é uma força central. Escreva as equações de movimento para os 2 corpos. Introduza novas variáveis R, o vetor posição do centro de massa (CM), e r, o vetor coordenada relativa - o movimento passa a ser descrito em termos de R(t) e r(t). Encontre as equações de movimento em R e r. O que representam estas equações de movimento?
Considere o problema de dois corpos. Analise a situação quando um dos corpos possui massa (M) muito maior que a do outro, M>m. Mostre que: L é uma constante de movimento e a trajetória do corpo de massa m está localizada em um plano que contém o centro de força.
Considere o caso de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado da distância, F(r)=kr^2. Por que este é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional? Escreva V(r ) e analise suas várias possibilidades para diferentes valores de k e ell, ( k>0, para ell=0 e ell neq 0 ; k<0, para ell=0 e ell neq 0). Faça os gráficos de V ® para todos estes casos. Analise a possibilidade de ocorrência de mínimos no potencial efetivo. Analise a natureza do movimento em cada um dos casos.
Uma espira que conduz uma corrente de 5,0 A tem a forma de um triângulo retângulo cujos lados medem 30,40 e 50 cm . A espira é submetida a um campo magnético uniforme de módulo 80 mT paralelo à corrente no lado de 50 cm da espira. Determine o módulo (a) do momento dipolar magnético da espira; (b) o torque sobre a espira.