Considere o caso de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado da distância, F(r)=kr^2. Por que este é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional? Escreva V(r ) e analise suas várias possibilidades para diferentes valores de k e ell, ( k>0, para ell=0 e ell neq 0 ; k<0, para ell=0 e ell neq 0). Faça os gráficos de V ® para todos estes casos. Analise a possibilidade de ocorrência de mínimos no potencial efetivo. Analise a natureza do movimento em cada um dos casos.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre forças centrais que dependem inversamente do quadrado da distância, ou seja, F(r) = kr^2. Esse tipo de força é super importante na física, especialmente quando estudamos o movimento de planetas, satélites e partículas em geral no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como potencial, potencial efetivo, e analisar diferentes casos baseados nos valores de k e ell (momento angular). Vamos também fazer gráficos e ver se o potencial tem mínimos, o que influencia como o movimento acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o potencial V(r) associado à força F(r). Sabemos que a força central está relacionada ao potencial pela relação:
F(r) = -dVdr
Então, para encontrar V(r), precisamos integrar F(r):
V(r) = -integral F(r) , dr = -integral kr^2 , dr = kr + C
Nesse caso, podemos considerar a constante de integração C como zero, então:
V(r) = kr

Passo 3

Agora, vamos introduzir o conceito de potencial efetivo, que leva em conta não só o potencial devido à força central, mas também o efeito do momento angular ell do sistema. A expressão do potencial efetivo é:
Vefetivo(r) = V(r) + ell^22mr^2
Aqui, a segunda parte representa a “barra de centrifugação” que surge devido ao movimento angular. Esse termo impede que as partículas colidam diretamente ao centro devido à força centrífuga.

Passo 4

Vamos analisar os diferentes casos com base nos sinais de k e nos valores de ell.
  1. Caso 1: k > 0 e ell = 0
    Aqui, o potencial efetivo fica simples:
    Vefetivo(r) = kr
    Não há termo de momento angular.
  2. Caso 2: k > 0 e ell neq 0
    Agora, temos ambos os termos:
    Vefetivo(r) = kr + ell^22mr^2
  3. Caso 3: k < 0 e ell = 0
    O potencial efetivo é:
    Vefetivo(r) = kr
  4. Caso 4: k < 0 e ell neq 0
    Novamente, temos ambos os termos:
    Vefetivo(r) = kr + ell^22mr^2

Passo 5

Vamos descrever como seriam os gráficos de Vefetivo(r) para cada caso:
  1. Caso 1 ( k > 0, ell = 0):
    O gráfico é uma hipérbole que se aproxima de zero à medida que r aumenta e tende ao infinito quando r tende a zero.
  2. Caso 2 ( k > 0, ell neq 0):
    Aqui, o potencial efetivo tem duas partes: kr (positiva) e ell^22mr^2 (também positiva). O gráfico irá mostrar uma curva que vai decrescendo, mas com uma barreira crescente perto de r=0, evitando que r seja muito pequeno.
  3. Caso 3 ( k < 0, ell = 0):
    O potencial efetivo agora é negativo:
    Vefetivo(r) = kr
    O gráfico será uma hipérbole negativa, aproximando-se de zero por valores negativos à medida que r aumenta e indo para -infty quando r tende a zero.
  4. Caso 4 ( k < 0, ell neq 0):
    Aqui, o potencial efetivo tem uma parte negativa e outra positiva:
    Vefetivo(r) = kr + ell^22mr^2
    O gráfico pode ter um mínimo, dependendo dos valores de k e ell, combinando uma parte que vai para -infty quando r to 0 e outra que decresce para zero quando r to infty.

Passo 6

Vamos verificar se existem mínimos no potencial efetivo, o que indica pontos de equilíbrio estável no movimento.
Para encontrar os mínimos, derivamos o potencial efetivo em relação a r e igualamos a zero:
dVefetivodr = -kr^2 - ell^2mr^3 = 0
Resolvendo para r:
-kr^2 - ell^2mr^3 = 0 implies kr^2 = -ell^2mr^3 implies r = -ell^2mk
O valor de r será positivo se k e m tiverem sinais opostos. Portanto:
  • Para k < 0 e ell neq 0, existe um mínimo no potencial efetivo.
  • Para k > 0 ou ell = 0, não há mínimos.

Passo 7

Vamos analisar como o movimento se comporta em cada caso:
  1. Caso 1 ( k > 0, ell = 0):
    Sem momento angular, a partícula pode cair diretamente ao centro, pois não há barreira centrífuga.
  2. Caso 2 ( k > 0, ell neq 0):
    O termo de momento angular impede a colisão ao centro, mas como k > 0, a força é repulsiva. A partícula será repelida se se aproximar demais, resultando em movimentos afastados.
  3. Caso 3 ( k < 0, ell = 0):
    Com força atrativa e sem momento angular, a partícula pode ser capturada pelo centro, resultando em queda livre em direção ao ponto central.
  4. Caso 4 ( k < 0, ell neq 0):
    Aqui, o potencial efetivo tem um mínimo, indicando que a partícula pode realizar movimentos orbitais estáveis, como elipses, onde o equilíbrio entre a força atrativa e a barreira centrífuga mantém a órbita.

Resposta

Concluindo, ao analisar o potencial efetivo Vefetivo(r) para as forças centriais inversamente proporcionais ao quadrado da distância, observamos que:
  • Para k > 0 e ell = 0, a força é repulsiva sem barreira centrífuga, permitindo que a partícula se afaste indefinidamente.
  • Para k > 0 e ell neq 0, a força repulsiva combinada com a barreira centrífuga resulta em movimentos afastados sem equilíbrio estável.
  • Para k < 0 e ell = 0, a força atrativa sem barreira permite que a partícula caia no centro.
  • Para k < 0 e ell neq 0, a presença de um mínimo no potencial efetivo permite órbitas estáveis, como elipses, equilibrando a atração central e a resistência centrífuga.
Essas análises mostram por que esse é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional, pois abrange comportamentos diversos dependendo dos parâmetros envolvidos.

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