Considere o caso de forças centrais inversamente proporcionais ao quadrado da distância,
. Por que este é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional? Escreva
) e analise suas várias possibilidades para diferentes valores de
, (
, para
e
, para
e
. Faça os gráficos de V ® para todos estes casos. Analise a possibilidade de ocorrência de mínimos no potencial efetivo. Analise a natureza do movimento em cada um dos casos.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício fala sobre forças centrais que dependem inversamente do quadrado da distância, ou seja,
. Esse tipo de força é super importante na física, especialmente quando estudamos o movimento de planetas, satélites e partículas em geral no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como potencial, potencial efetivo, e analisar diferentes casos baseados nos valores de
e
(momento angular). Vamos também fazer gráficos e ver se o potencial tem mínimos, o que influencia como o movimento acontece.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o potencial
associado à força
. Sabemos que a força central está relacionada ao potencial pela relação:
Então, para encontrar
, precisamos integrar
:
Nesse caso, podemos considerar a constante de integração
como zero, então:
Passo 3
Agora, vamos introduzir o conceito de potencial efetivo, que leva em conta não só o potencial devido à força central, mas também o efeito do momento angular
do sistema. A expressão do potencial efetivo é:
Aqui, a segunda parte representa a “barra de centrifugação” que surge devido ao movimento angular. Esse termo impede que as partículas colidam diretamente ao centro devido à força centrífuga.
Passo 4
Vamos analisar os diferentes casos com base nos sinais de
e nos valores de
.
-
Caso 1:
e Aqui, o potencial efetivo fica simples:Não há termo de momento angular. -
Caso 2:
e Agora, temos ambos os termos: -
Caso 3:
e O potencial efetivo é: -
Caso 4:
e Novamente, temos ambos os termos:
Passo 5
Vamos descrever como seriam os gráficos de
para cada caso:
-
Caso 1 (
, ): O gráfico é uma hipérbole que se aproxima de zero à medida queaumenta e tende ao infinito quando tende a zero. -
Caso 2 (
, ): Aqui, o potencial efetivo tem duas partes:(positiva) e (também positiva). O gráfico irá mostrar uma curva que vai decrescendo, mas com uma barreira crescente perto de , evitando que seja muito pequeno. -
Caso 3 (
, ): O potencial efetivo agora é negativo:O gráfico será uma hipérbole negativa, aproximando-se de zero por valores negativos à medida queaumenta e indo para quando tende a zero. -
Caso 4 (
, ): Aqui, o potencial efetivo tem uma parte negativa e outra positiva:O gráfico pode ter um mínimo, dependendo dos valores dee , combinando uma parte que vai para quando e outra que decresce para zero quando .
Passo 6
Vamos verificar se existem mínimos no potencial efetivo, o que indica pontos de equilíbrio estável no movimento.
Para encontrar os mínimos, derivamos o potencial efetivo em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
O valor de
será positivo se
e
tiverem sinais opostos. Portanto:
- Para
e , existe um mínimo no potencial efetivo. - Para
ou , não há mínimos.
Passo 7
Vamos analisar como o movimento se comporta em cada caso:
-
Caso 1 (
, ): Sem momento angular, a partícula pode cair diretamente ao centro, pois não há barreira centrífuga. -
Caso 2 (
, ): O termo de momento angular impede a colisão ao centro, mas como, a força é repulsiva. A partícula será repelida se se aproximar demais, resultando em movimentos afastados. -
Caso 3 (
, ): Com força atrativa e sem momento angular, a partícula pode ser capturada pelo centro, resultando em queda livre em direção ao ponto central. -
Caso 4 (
, ): Aqui, o potencial efetivo tem um mínimo, indicando que a partícula pode realizar movimentos orbitais estáveis, como elipses, onde o equilíbrio entre a força atrativa e a barreira centrífuga mantém a órbita.
Resposta
Concluindo, ao analisar o potencial efetivo
para as forças centriais inversamente proporcionais ao quadrado da distância, observamos que:
- Para
e , a força é repulsiva sem barreira centrífuga, permitindo que a partícula se afaste indefinidamente. - Para
e , a força repulsiva combinada com a barreira centrífuga resulta em movimentos afastados sem equilíbrio estável. - Para
e , a força atrativa sem barreira permite que a partícula caia no centro. - Para
e , a presença de um mínimo no potencial efetivo permite órbitas estáveis, como elipses, equilibrando a atração central e a resistência centrífuga.
Essas análises mostram por que esse é um dos problemas mais importantes no movimento tridimensional, pois abrange comportamentos diversos dependendo dos parâmetros envolvidos.
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