Considere um solenóide cilíndrico com N espiras, de raio a e comprimento
, sendo
, percorrido por uma corrente elétrica que cresce linearmente com o tempo expressa por
, em que
é uma constante. Calcule o campo elétrico: num ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um solenóide, que é tipo uma bobina cilíndrica com N espiras, raio a e comprimento L, onde L é bem maior que a. A corrente elétrica que passa por ele cresce de forma linear com o tempo, ou seja, I(t) = αt, onde α é uma constante. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico em um ponto que está dentro do solenóide, ou seja, onde a distância r ao centro é menor que o raio a.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a corrente em um solenóide muda com o tempo, isso gera um campo magnético que também muda. Segundo a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, uma variação no campo magnético cria um campo elétrico. A gente vai usar essa lei para encontrar o campo elétrico que está sendo gerado.
Passo 3
A Lei de Faraday é dada por:
Aqui, a integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético pelo mesmo caminho.
Passo 4
Vamos escolher um caminho circular dentro do solenóide para facilitar os cálculos. Como o solenóide é bem comprido (L >> a) e r < a, o campo magnético dentro dele é praticamente uniforme e paralelo ao eixo do solenóide. O fluxo magnético Φ_B é então:
onde A é a área da seção transversal do caminho, ou seja, A = πr².
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o campo magnético B dentro do solenóide. A fórmula para o campo magnético em um solenóide é:
onde μ₀ é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por unidade de comprimento (n = N/L) e I é a corrente.
Passo 6
Como a corrente está variando no tempo, temos:
Assim, o campo magnético também varia com o tempo:
Passo 7
Agora, calculamos a taxa de variação do fluxo magnético:
Substituindo B(t) na equação:
Então:
Passo 8
Aplicando a Lei de Faraday:
Como o campo elétrico E é tangencial e de mesma magnitude em todo o caminho circular, a integral fica:
Passo 9
Resolvendo para E:
O sinal negativo indica a direção do campo elétrico, mas geralmente estamos interessados na magnitude.
Resposta
O campo elétrico no ponto r < a é dado por:
Exercícios relacionados
Mostre que o campo magnético
num ponto P que está numa distância y perpendicular à um fio infinito com corrente elétrica i é dado por
em que
é o versor unitário tangencial.
Um fio de
de comprimento é percorrido por uma corrente de
e faz um ângulo de
com o campo magnético uniforme
. Determine a forma magnética
que atua sobre o fio condutor?
Considere um solenóide cilíndrico com N espiras, de raio a e comprimento
, sendo
, percorrido por uma corrente elétrica que cresce linearmente com o tempo expressa por
, em que
é uma constante. Calcule o campo elétrico: num ponto
;
Qual o motivo de se colocar nas asas dos aviões pontas metálicas?