Considere um solenóide cilíndrico com N espiras, de raio a e comprimento L, sendo L gg a, percorrido por uma corrente elétrica que cresce linearmente com o tempo expressa por I(t)=alpha t, em que alpha é uma constante. Calcule o campo elétrico: num ponto r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um solenóide, que é tipo uma bobina cilíndrica com N espiras, raio a e comprimento L, onde L é bem maior que a. A corrente elétrica que passa por ele cresce de forma linear com o tempo, ou seja, I(t) = αt, onde α é uma constante. Nosso objetivo aqui é calcular o campo elétrico em um ponto que está dentro do solenóide, ou seja, onde a distância r ao centro é menor que o raio a.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a corrente em um solenóide muda com o tempo, isso gera um campo magnético que também muda. Segundo a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, uma variação no campo magnético cria um campo elétrico. A gente vai usar essa lei para encontrar o campo elétrico que está sendo gerado.

Passo 3

A Lei de Faraday é dada por:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Aqui, a integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético pelo mesmo caminho.

Passo 4

Vamos escolher um caminho circular dentro do solenóide para facilitar os cálculos. Como o solenóide é bem comprido (L >> a) e r < a, o campo magnético dentro dele é praticamente uniforme e paralelo ao eixo do solenóide. O fluxo magnético Φ_B é então:
PhiB = B cdot A
onde A é a área da seção transversal do caminho, ou seja, A = πr².

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o campo magnético B dentro do solenóide. A fórmula para o campo magnético em um solenóide é:
B = mu0 n I
onde μ₀ é a permeabilidade do vácuo, n é o número de espiras por unidade de comprimento (n = N/L) e I é a corrente.

Passo 6

Como a corrente está variando no tempo, temos:
I(t) = alpha t
Assim, o campo magnético também varia com o tempo:
B(t) = mu0 NL alpha t

Passo 7

Agora, calculamos a taxa de variação do fluxo magnético:
dPhiBdt = ddt(B cdot A) = A dBdt
Substituindo B(t) na equação:
dBdt = mu0 NL alpha
Então:
dPhiBdt = pi r^2 mu0 NL alpha

Passo 8

Aplicando a Lei de Faraday:
oint E cdot dl = -pi r^2 mu0 NL alpha
Como o campo elétrico E é tangencial e de mesma magnitude em todo o caminho circular, a integral fica:
E cdot 2pi r = -pi r^2 mu0 NL alpha

Passo 9

Resolvendo para E:
E = -mu0 N alpha r2L
O sinal negativo indica a direção do campo elétrico, mas geralmente estamos interessados na magnitude.

Resposta

O campo elétrico no ponto r < a é dado por:
E = mu0 N alpha r2L

Exercícios relacionados

Mostre que o campo magnético B num ponto P que está numa distância y perpendicular à um fio infinito com corrente elétrica i é dado por B=mu02 pi iy theta em que theta é o versor unitário tangencial.
Um fio de 1 , 3 m de comprimento é percorrido por uma corrente de 2 0 A e faz um ângulo de 2 5 ^circ com o campo magnético uniforme B=2 , 5 T. Determine a forma magnética FB que atua sobre o fio condutor?
Considere um solenóide cilíndrico com N espiras, de raio a e comprimento L, sendo L gg a, percorrido por uma corrente elétrica que cresce linearmente com o tempo expressa por I(t)=alpha t, em que alpha é uma constante. Calcule o campo elétrico: num ponto r>a;
Qual o motivo de se colocar nas asas dos aviões pontas metálicas?