Mostre que o campo magnético B num ponto P que está numa distância y perpendicular à um fio infinito com corrente elétrica i é dado por B=mu02 pi iy theta em que theta é o versor unitário tangencial.

Passo 1

Beleza, então a gente precisa mostrar que o campo magnético em um ponto , que está a uma distância perpendicular de um fio infinito com corrente elétrica , é dado por . Vamos usar o conceito de Lei de Ampère para resolver isso. A Lei de Ampère relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho. Então, vamos precisar entender um pouco sobre campos magnéticos e como aplicar a Lei de Ampère.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho fechado para aplicar a Lei de Ampère. Como o fio é infinito e a corrente está uniforme, uma escolha natural é usar um círculo centrado no fio com raio . Isso simplifica os cálculos porque o campo magnético tem a mesma magnitude em todo o caminho e está sempre tangente ao círculo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a Lei de Ampère, que é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Iencl
Aqui, é a integral do campo magnético ao longo do caminho fechado, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente total que passa pelo caminho.

Passo 4

No nosso caso, o caminho é um círculo de raio oint B cdot dl = B oint dl = B cdot 2pi y . Como o campo magnético é tangente ao círculo e tem a mesma magnitude em todos os pontos do círculo, a integral fica:
Aqui, é o comprimento total do círculo, que é .

Passo 5

Igualando as duas expressões da Lei de Ampère:
B cdot 2pi y = mu0 i
Agora, resolvemos para B = mu0 i2pi y :

Passo 6

O vetor campo magnético B = mu02 pi iy theta está na direção tangencial ao círculo, que é representada pelo versor unitário . Assim, podemos escrever o campo magnético completo como:

Resposta

B = mu02 pi iy theta

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