Considere um solenóide cilíndrico com N espiras, de raio a e comprimento L, sendo L gg a, percorrido por uma corrente elétrica que cresce linearmente com o tempo expressa por I(t)=alpha t, em que alpha é uma constante. Calcule o campo elétrico: num ponto r>a;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um solenóide cilíndrico com N espiras, raio , comprimento (onde é muito maior que ), e uma corrente que cresce linearmente com o tempo, . A gente precisa calcular o campo elétrico num ponto fora do solenóide, ou seja, para . Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Ampère.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico. A Lei de Faraday nos diz que a circulação do campo elétrico ao redor de um caminho fechado é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através desse caminho:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
Aqui, é o fluxo magnético.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético B = mu0 NL I(t) dentro do solenóide. O campo magnético dentro de um solenóide longo é dado por:
onde é a permeabilidade do vácuo, é o número de espiras, é o comprimento, e é a corrente que varia com o tempo.

Passo 4

Agora, calculamos o fluxo magnético PhiB = B cdot A = mu0 NL I(t) cdot pi a^2 = mu0 NL pi a^2 alpha t que passa pela área do solenóide:
onde é a área da seção transversal do solenóide.

Passo 5

Vamos derivar o fluxo magnético em relação ao tempo:
dPhiBdt = mu0 NL pi a^2 alpha
Agora, aplicamos a Lei de Faraday. Escolhemos um caminho circular de raio oint E cdot dl = E cdot 2pi r = -dPhiBdt ao redor do solenóide. Como o campo elétrico é simétrico, E cdot 2pi r = -mu0 NL pi a^2 alpha é constante ao longo desse caminho e tangencial. Então:
Substituindo :

Passo 6

Agora, resolvemos para E = -mu0 N a^2 alpha2 L r :
Como estamos interessados no valor absoluto do campo elétrico, podemos ignorar o sinal negativo, que indica a direção do campo de acordo com a regra de Lenz.

Resposta

O campo elétrico no ponto E = mu0 N a^2 alpha2 L r é dado por:

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