Considere um solenóide contendo N voltas, raio a e de comprimento h muito longo ( h gg a ). A corrente que atravessa esse solenóide varia no tempo de acordo com a expressão I(t)=I0+b t, onde I0 e b são constante positivas.
a) Com que taxa a energia eletromagnética varia nesse solenóide? Em qual direção isso acontece?
b) Determine a taxa de variação da energia magnética total do solenóide. Esse resultado faz sentido com o resultado anterior?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre solenoides e energia eletromagnética. Basicamente, temos um solenoide com algumas características específicas e uma corrente que varia com o tempo. Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética e energia magnética. Nosso objetivo é descobrir como a energia eletromagnética está mudando no solenoide e entender a direção dessa mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um solenoide. Um solenoide é uma bobina de fio enrolada em formato de cilindro, e quando a corrente passa por ele, cria um campo magnético uniforme dentro. A energia eletromagnética armazenada nesse campo pode mudar se a corrente variar com o tempo.

Passo 3

A corrente no solenoide está dada por $ I(t) = I_0 + b t $. Isso significa que a corrente aumenta linearmente com o tempo. Como o campo magnético depende da corrente, o campo magnético também está aumentando.

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação da energia eletromagnética, usamos a fórmula:
dWdt = E cdot I
onde $ \mathcal{E} $ é a força eletromotriz induzida e $ I $ é a corrente.

Passo 5

A força eletromotriz induzida em um solenoide é dada por:
E = -N dPhidt
onde $ N $ é o número de voltas e $ \Phi $ é o fluxo magnético.

Passo 6

O fluxo magnético $ \Phi $ através de uma volta do solenoide é:
Phi
onde $ B $ é o campo magnético e $ A $ é a área da seção transversal do solenoide.

Passo 7

O campo magnético dentro de um solenoide longo é dado por:
B = mu0 n I
onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo, $ n = \frac{N}{h} $ é a densidade de voltas por unidade de comprimento, e $ I $ é a corrente.

Passo 8

Substituindo $ B $ na expressão do fluxo:
B
Então, a taxa de variação do fluxo é:
Phi = mu0 n I cdot A

Passo 9

A derivada da corrente em relação ao tempo é:
dIdt = b
Portanto:
dPhidt = mu0 n A b

Passo 10

Agora, substituindo $ \frac{d\Phi}{dt} $ na expressão da força eletromotriz:
dPhidt

Passo 11

A potência (taxa de variação da energia) é então:
dWdt = E cdot I = -N mu0 n A b cdot (I0 + b t)

Passo 12

Simplificando, lembrando que $ n = \frac{N}{h} $:
n = Nh

Resposta

A taxa de variação da energia eletromagnética no solenoide é $ \frac{dW}{dt} = -\mu_0 \frac{N^2 A b}{h} (I_0 + b t) $. Essa variação ocorre na direção de diminuir a energia armazenada no campo magnético.

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