Um capacitor de placas planas circulares de raio a está conectado a uma bateria V=V0 cos omega t, sabendo que sua capacitância é de C0, calcule: o campo elétrico, a corrente de deslocamento, o campo magnético e o vetor de Poynting, todos dentro do capacitor. Calcule ainda o campo magnético para uma distância radial maior que a. O que mudaria caso o capacitor estivesse preenchido por um isolante de constante dielétrica kappa ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um capacitor com placas circulares que está conectado a uma bateria que varia no tempo, tipo V = V0 cos omega t. A gente vai precisar entender de eletricidade estática e dinâmica, principalmente sobre campos elétricos e magnéticos, corrente de deslocamento e o vetor de Poynting. Também vamos usar algumas fórmulas básicas de capacitores e das equações de Maxwell. Bora lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro do capacitor. Sabemos que para um capacitor de placas paralelas, o campo elétrico E é dado por:
E = Vd
Onde V é a voltagem aplicada e d é a distância entre as placas. Mas como a voltagem está variando no tempo como V = V0 cos omega t, o campo elétrico também vai variar no tempo:
E(t) = V0 cos omega td

Passo 3

Agora, vamos encontrar a corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento Id está relacionada à variação do campo elétrico no tempo e é dada por:
Id = epsilon0 dPhiEdt
Onde PhiE é o fluxo elétrico. Para um capacitor com capacitância C0, temos PhiE = C0 V. Substituindo a variação de V:
Id = epsilon0 C0 ddt (V0 cos omega t) = -epsilon0 C0 V0 omega sin omega t

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo magnético dentro do capacitor. Usamos a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético B à corrente de deslocamento:
nabla times B = mu0 Id
Para um campo magnético circular ao redor das placas, a magnitude de B fica:
B = mu0 Id2pi r
Substituindo Id:
B(t) = mu0 (-epsilon0 C0 V0 omega sin omega t)2pi r
Simplificando:
B(t) = -mu0 epsilon0 C0 V0 omega2pi r sin omega t

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor de Poynting dentro do capacitor. O vetor de Poynting S representa a direção e a magnitude do fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
S = E times H
Onde H é o campo magnético relacionado por B = mu0 H. Então:
S = E times Bmu0
Substituindo E(t) e B(t):
S(t) = V0 cos omega td times -mu0 epsilon0 C0 V0 omega2pi r sin omega tmu0
Simplificando:
S(t) = -epsilon0 C0 V0^2 omega2pi d r cos omega t sin omega t

Passo 6

Para calcular o campo magnético para uma distância radial maior que a, consideramos que fora do capacitor, o campo magnético decai com a distância. Usando a mesma fórmula do passo 4, para r > a:
B(t) = -mu0 epsilon0 C0 V0 omega2pi r sin omega t
Isso significa que o campo magnético diminui inversamente com r à medida que nos afastamos do capacitor.

Passo 7

Por fim, vamos ver o que muda se o capacitor estiver preenchido com um isolante de constante dielétrica kappa. A presença do dielétrico aumenta a capacitância do capacitor para:
C = kappa C0
Isso afeta várias coisas:
  • Campo Elétrico: Como E = V/d, e a capacitância aumenta, para o mesmo V, o campo elétrico efetivo dentro do capacitor diminui:
E(t) = V0 cos omega tkappa d
  • Corrente de Deslocamento: Como C agora é kappa C0, a corrente de deslocamento também aumenta proporcionalmente:
Id = -epsilon0 kappa C0 V0 omega sin omega t
  • Campo Magnético e Vetor de Poynting: Ambos serão afetados pela mudança em Id e E, seguindo as mesmas relações anteriores, mas ajustados pela constante dielétrica kappa.

Resposta

Resumindo tudo, as expressões finais são:
  • Campo Elétrico:
E(t) = V0 cos omega td
  • Corrente de Deslocamento:
Id(t) = -epsilon0 C0 V0 omega sin omega t
  • Campo Magnético dentro do capacitor:
B(t) = -mu0 epsilon0 C0 V0 omega2pi r sin omega t
  • Vetor de Poynting:
S(t) = -epsilon0 C0 V0^2 omega2pi d r cos omega t sin omega t
  • Campo Magnético para r > a:
B(t) = -mu0 epsilon0 C0 V0 omega2pi r sin omega t
  • Com um dielétrico de constante kappa:
As expressões para E, Id, B e S são modificadas incorporando a constante dielétrica, aumentando a capacitância para C = kappa C0 e ajustando as outras fórmulas proporcionalmente.

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