Um capacitor de placas planas circulares de raio
está conectado a uma bateria
, sabendo que sua capacitância é de
, calcule: o campo elétrico, a corrente de deslocamento, o campo magnético e o vetor de Poynting, todos dentro do capacitor. Calcule ainda o campo magnético para uma distância radial maior que
. O que mudaria caso o capacitor estivesse preenchido por um isolante de constante dielétrica
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um capacitor com placas circulares que está conectado a uma bateria que varia no tempo, tipo
. A gente vai precisar entender de eletricidade estática e dinâmica, principalmente sobre campos elétricos e magnéticos, corrente de deslocamento e o vetor de Poynting. Também vamos usar algumas fórmulas básicas de capacitores e das equações de Maxwell. Bora lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro do capacitor. Sabemos que para um capacitor de placas paralelas, o campo elétrico
é dado por:
Onde
é a voltagem aplicada e
é a distância entre as placas. Mas como a voltagem está variando no tempo como
, o campo elétrico também vai variar no tempo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a corrente de deslocamento. A corrente de deslocamento
está relacionada à variação do campo elétrico no tempo e é dada por:
Onde
é o fluxo elétrico. Para um capacitor com capacitância
, temos
. Substituindo a variação de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo magnético dentro do capacitor. Usamos a lei de Ampère-Maxwell, que relaciona o campo magnético
à corrente de deslocamento:
Para um campo magnético circular ao redor das placas, a magnitude de
fica:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor de Poynting dentro do capacitor. O vetor de Poynting
representa a direção e a magnitude do fluxo de energia eletromagnética e é dado por:
Onde
é o campo magnético relacionado por
. Então:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Para calcular o campo magnético para uma distância radial maior que
, consideramos que fora do capacitor, o campo magnético decai com a distância. Usando a mesma fórmula do passo 4, para
:
Isso significa que o campo magnético diminui inversamente com
à medida que nos afastamos do capacitor.
Passo 7
Por fim, vamos ver o que muda se o capacitor estiver preenchido com um isolante de constante dielétrica
. A presença do dielétrico aumenta a capacitância do capacitor para:
Isso afeta várias coisas:
- Campo Elétrico: Como
, e a capacitância aumenta, para o mesmo , o campo elétrico efetivo dentro do capacitor diminui:
- Corrente de Deslocamento: Como
agora é , a corrente de deslocamento também aumenta proporcionalmente:
- Campo Magnético e Vetor de Poynting: Ambos serão afetados pela mudança em
e , seguindo as mesmas relações anteriores, mas ajustados pela constante dielétrica .
Resposta
Resumindo tudo, as expressões finais são:
- Campo Elétrico:
- Corrente de Deslocamento:
- Campo Magnético dentro do capacitor:
- Vetor de Poynting:
- Campo Magnético para
:
- Com um dielétrico de constante
:
As expressões para
,
,
e
são modificadas incorporando a constante dielétrica, aumentando a capacitância para
e ajustando as outras fórmulas proporcionalmente.