Considere um capacitor de placas planas paralelas, estas placas possuem formato circular de raio
e distam-se d. Num instante inicial, a carga armazenada no capacitor é de
. Suponha que a descarga produza uma corrente estacionária
. Qual é a potência que atravessa a superfície lateral deste capacitor? Calcule a energia total que atravessa esta superfície entre o instante inicial até o instante de tempo onde a carga no capacitor se torna zero, esta energia é a mesma que estava armazenada no capacitor? Explique o que está acontecendo.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos precisar. Temos um capacitor de placas circulares, com raio $ R $ e separação $ d $. Inicialmente, ele está carregado com uma carga $ q_0 $. Ao descarregar, ocorre uma corrente constante $ I_0 $. Precisamos calcular:
- A potência que atravessa a superfície lateral do capacitor.
- A energia total que passa por essa superfície até a carga no capacitor se tornar zero.
- Verificar se essa energia é a mesma que estava armazenada no capacitor e explicar o que está acontecendo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade e magnetismo, especialmente relacionados a capacitores, corrente elétrica, potência e energia elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a potência elétrica. A potência ($ P $) é a taxa na qual a energia é transferida ou convertida, e é dada pela fórmula:
onde $ V $ é a diferença de potencial (voltagem) e $ I $ é a corrente elétrica.
Passo 3
No caso do capacitor, a diferença de potencial entre as placas pode ser relacionada à carga $ q $ e à capacitância $ C $ pelo relacionamento:
A capacitância $ C $ de um capacitor de placas paralelas é dada por:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo e $ A $ é a área das placas. Como as placas são circulares com raio $ R $, a área $ A $ é:
Passo 4
A corrente elétrica $ I $ está relacionada à variação da carga no tempo:
Como a corrente é constante ($ I = I_0 $), a carga diminui linearmente com o tempo:
A descarga completa ocorre quando $ q(t) = 0 $, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos calcular a potência que atravessa a superfície lateral do capacitor. Substituindo $ V $ na fórmula da potência:
No instante inicial, $ q = q_0 $, então a potência inicial é:
Essa é a potência que atravessa a superfície lateral do capacitor.
Passo 6
Para calcular a energia total que atravessa a superfície lateral entre o instante inicial e o instante em que a carga se torna zero, integramos a potência ao longo do tempo:
Substituindo $ q(t) = q_0 - I_0 t $:
Integrando:
Simplificando:
Passo 7
A energia armazenada em um capacitor é dada por:
Perceba que a energia total $ E $ que calculamos é igual a $ U $. Isso significa que toda a energia armazenada inicialmente no capacitor passa pela superfície lateral durante a descarga.
Resposta
A potência que atravessa a superfície lateral do capacitor é $ P_0 = \frac{q_0}{C} \cdot I_0 $. A energia total que passa por essa superfície até que a carga se torne zero é $ E = \frac{q_0^2}{2 C} $, que é exatamente a mesma energia que estava armazenada no capacitor. Isso ocorre porque toda a energia armazenada no campo elétrico do capacitor é transferida através das superfícies durante a descarga.