Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo
, com diâmetro interno
espiras enroladas e um comprimento total
. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa
, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma:
, onde
e
são constantes.
Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passa pelo resistor
.
Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passa pelo resistor
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um solenoide alinhado com o eixo
, com diâmetro interno
,
espiras e comprimento total
. Esse solenoide está conectado a uma resistência
e imerso em um campo magnético que muda com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a corrente elétrica induzida no resistor
em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (EMF) induzida, e a Lei de Ohm, que relaciona a EMF, resistência e corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o fluxo magnético que atravessa o solenoide. O fluxo magnético (
) é dado por:
Aqui,
é o campo magnético e
é o elemento de área perpendicular ao campo.
No nosso caso, o solenoide está alinhado com o eixo
, então a área da seção transversal está perpendicular ao eixo
. O campo magnético dado é:
Observamos que o componente
está alinhado com o eixo do solenoide, portanto, não contribui para o fluxo magnético que atravessa a área perpendicular. Somente o componente
contribui para o fluxo.
Passo 3
Vamos calcular o fluxo magnético (
) através do solenoide considerando apenas o componente
:
Onde:
-
-
é a área da seção transversal do solenoide. Como o diâmetro é , o raio , então -
é o número de espiras
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, aplicamos a Lei de Faraday, que nos diz que a força eletromotriz (EMF) induzida é:
Vamos derivar
em relação ao tempo:
Então, a EMF é:
Passo 5
Finalmente, usamos a Lei de Ohm para relacionar a EMF com a corrente
no resistor
:
Isolando
:
Resposta
A corrente elétrica induzida no resistor
em função do tempo
é: