Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo x, com diâmetro interno D, N espiras enroladas e um comprimento total L. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa R, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: B=B0(e^-t / tau x+t^2tau^2 y), onde B0 e tau são constantes.
Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passa pelo resistor R.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um solenoide alinhado com o eixo , com diâmetro interno , espiras e comprimento total . Esse solenoide está conectado a uma resistência e imerso em um campo magnético que muda com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a corrente elétrica induzida no resistor em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (EMF) induzida, e a Lei de Ohm, que relaciona a EMF, resistência e corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o fluxo magnético que atravessa o solenoide. O fluxo magnético ( Phi = integral B cdot dA ) é dado por:
B = B0(e^-t / tau x + t^2tau^2 y)
Aqui, é o campo magnético e é o elemento de área perpendicular ao campo.
No nosso caso, o solenoide está alinhado com o eixo , então a área da seção transversal está perpendicular ao eixo . O campo magnético dado é:
Observamos que o componente está alinhado com o eixo do solenoide, portanto, não contribui para o fluxo magnético que atravessa a área perpendicular. Somente o componente contribui para o fluxo.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético ( Phi = By(t) cdot A cdot N ) através do solenoide considerando apenas o componente Phi = B0 t^2tau^2 cdot pi D^24 cdot N = pi N B0 D^2 t^24 tau^2 :
Onde:
  • é a área da seção transversal do solenoide. Como o diâmetro é , o raio , então
  • é o número de espiras
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Faraday, que nos diz que a força eletromotriz (EMF) induzida é:
E = -N dPhidt
Vamos derivar dPhidt = ddt ( pi N B0 D^2 t^24 tau^2 ) = pi N B0 D^2 cdot 2t4 tau^2 = pi N B0 D^2 t2 tau^2 em relação ao tempo:
E = -N cdot pi N B0 D^2 t2 tau^2 = -pi N^2 B0 D^2 t2 tau^2
Então, a EMF é:

Passo 5

Finalmente, usamos a Lei de Ohm para relacionar a EMF com a corrente E = I cdot R no resistor I = ER = -pi N^2 B0 D^2 t2 tau^2 R :
Isolando :

Resposta

A corrente elétrica induzida no resistor I(t) = -pi N^2 B0 D^2 t2 tau^2 R em função do tempo é:

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