Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo , com diâmetro interno espiras enroladas e um comprimento total . Esse solenoide está conectado a uma resistência externa , enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: , onde e são constantes.
Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passa pelo resistor .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um solenoide alinhado com o eixo , com diâmetro interno , espiras e comprimento total . Esse solenoide está conectado a uma resistência e imerso em um campo magnético que muda com o tempo. Nosso objetivo é encontrar a corrente elétrica induzida no resistor em função do tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (EMF) induzida, e a Lei de Ohm, que relaciona a EMF, resistência e corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o fluxo magnético que atravessa o solenoide. O fluxo magnético ( ) é dado por:
Aqui, é o campo magnético e é o elemento de área perpendicular ao campo.
No nosso caso, o solenoide está alinhado com o eixo , então a área da seção transversal está perpendicular ao eixo . O campo magnético dado é:
Observamos que o componente está alinhado com o eixo do solenoide, portanto, não contribui para o fluxo magnético que atravessa a área perpendicular. Somente o componente contribui para o fluxo.

Passo 3

Vamos calcular o fluxo magnético ( ) através do solenoide considerando apenas o componente :
Onde:
  • é a área da seção transversal do solenoide. Como o diâmetro é , o raio , então
  • é o número de espiras
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, aplicamos a Lei de Faraday, que nos diz que a força eletromotriz (EMF) induzida é:
Vamos derivar em relação ao tempo:
Então, a EMF é:

Passo 5

Finalmente, usamos a Lei de Ohm para relacionar a EMF com a corrente no resistor :
Isolando :

Resposta

A corrente elétrica induzida no resistor em função do tempo é:

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