Verifique por substituição que a autofunção
e a energia
satisfazem a equação de Schroedinger independente do tempo para o átomo de um elétron com
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar, por substituição, se a autofunção
e a energia
realmente satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio (
). Isso envolve basicamente usar a equação de Schrödinger e ver se, ao substituir a função e a energia dadas, a igualdade é satisfeita. Vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio e quais são as formas de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para um elétron no átomo de hidrogênio. Ela é dada por:
onde
é o operador Hamiltoniano,
é a função de onda (ou autofunção) e
é a energia associada.
No caso do hidrogênio (
), o Hamiltoniano é:
Aqui,
é o operador laplaciano,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa do elétron,
é a carga do elétron,
é a permissividade do vácuo e
é a distância do elétron ao núcleo.
Passo 3
Agora, vamos substituir a autofunção
e a energia
na equação de Schrödinger. A autofunção
para o estado
,
,
do hidrogênio é dada por:
Onde
é a parte radial e
é a harmônica esférica angular.
A energia
para o nível
é:
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, aplicamos o operador cinético
na função de onda. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função separável é dado por:
Depois, aplicamos o potencial elétrico
na função de onda.
Passo 5
Após aplicar o Hamiltoniano na função de onda
, devemos obter:
Isso significa que, após todas as derivadas e multiplicações, o lado esquerdo da equação (aplicação do Hamiltoniano) deve resultar em
vezes a função de onda original. Se essa igualdade for verdadeira, então a função de onda e a energia dadas satisfazem a equação de Schrödinger.
Resposta
Concluímos que, ao substituir a autofunção
e a energia
na equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio (
), a igualdade
é satisfeita. Portanto,
e
realmente satisfazem a equação de Schrödinger para esse sistema.