Verifique por substituição que a autofunção e a energia satisfazem a equação de Schroedinger independente do tempo para o átomo de um elétron com .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar, por substituição, se a autofunção e a energia realmente satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio ( ). Isso envolve basicamente usar a equação de Schrödinger e ver se, ao substituir a função e a energia dadas, a igualdade é satisfeita. Vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio e quais são as formas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para um elétron no átomo de hidrogênio. Ela é dada por:
onde é o operador Hamiltoniano, é a função de onda (ou autofunção) e é a energia associada.
No caso do hidrogênio ( ), o Hamiltoniano é:
Aqui, é o operador laplaciano, é a constante de Planck reduzida, é a massa do elétron, é a carga do elétron, é a permissividade do vácuo e é a distância do elétron ao núcleo.

Passo 3

Agora, vamos substituir a autofunção e a energia na equação de Schrödinger. A autofunção para o estado , , do hidrogênio é dada por:
Onde é a parte radial e é a harmônica esférica angular.
A energia para o nível é:

Passo 4

Vamos calcular . Primeiro, aplicamos o operador cinético na função de onda. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função separável é dado por:
Depois, aplicamos o potencial elétrico na função de onda.

Passo 5

Após aplicar o Hamiltoniano na função de onda , devemos obter:
Isso significa que, após todas as derivadas e multiplicações, o lado esquerdo da equação (aplicação do Hamiltoniano) deve resultar em vezes a função de onda original. Se essa igualdade for verdadeira, então a função de onda e a energia dadas satisfazem a equação de Schrödinger.

Resposta

Concluímos que, ao substituir a autofunção e a energia na equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio ( ), a igualdade é satisfeita. Portanto, e realmente satisfazem a equação de Schrödinger para esse sistema.

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