Verifique por substituição que a autofunção
e a energia
satisfazem a equação de Schroedinger independente do tempo para o átomo de um elétron com
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício que pede para verificar, por substituição, se a autofunção
e a energia
realmente satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio (
). Isso envolve basicamente usar a equação de Schrödinger e ver se, ao substituir a função e a energia dadas, a igualdade é satisfeita. Vamos precisar lembrar como é a equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio e quais são as formas de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger independente do tempo para um elétron no átomo de hidrogênio. Ela é dada por:
onde
é o operador Hamiltoniano,
é a função de onda (ou autofunção) e
é a energia associada.
No caso do hidrogênio (
), o Hamiltoniano é:
Aqui,
é o operador laplaciano,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa do elétron,
é a carga do elétron,
é a permissividade do vácuo e
é a distância do elétron ao núcleo.
Passo 3
Agora, vamos substituir a autofunção
e a energia
na equação de Schrödinger. A autofunção
para o estado
,
,
do hidrogênio é dada por:
Onde
é a parte radial e
é a harmônica esférica angular.
A energia
para o nível
é:
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, aplicamos o operador cinético
na função de onda. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função separável é dado por:
Depois, aplicamos o potencial elétrico
na função de onda.
Passo 5
Após aplicar o Hamiltoniano na função de onda
, devemos obter:
Isso significa que, após todas as derivadas e multiplicações, o lado esquerdo da equação (aplicação do Hamiltoniano) deve resultar em
vezes a função de onda original. Se essa igualdade for verdadeira, então a função de onda e a energia dadas satisfazem a equação de Schrödinger.
Resposta
Concluímos que, ao substituir a autofunção
e a energia
na equação de Schrödinger independente do tempo para o átomo de hidrogênio (
), a igualdade
é satisfeita. Portanto,
e
realmente satisfazem a equação de Schrödinger para esse sistema.
Exercícios relacionados
Um elétron no estado
do Hidrogênio permanece ali aproximadamente ao redor de
, antes de transitar para o estado
. (a) Estime a incerteza na energia para o estado
.
Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo
, com diâmetro interno
espiras enroladas e um comprimento total
. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa
, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma:
, onde
e
são constantes.
Determine o campo magnético gerado pelo solenoide produzido pela corrente induzida circulando no solenoide.
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e lados
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. O campo magnético da região é dado por
, onde
e
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Se ao invés da espira estar entrando na região que tem campo magnético, ela estivesse saindo, o que ocorre com os valores de direções da corrente e da força magnética?
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, onde
e
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Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passa pelo resistor .
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