Considere um solenoide de raio R com uma corrente elétrica i(t) percorrendo o fio que compõe esse solenoide. O eixo de simetria do solenoide está orientado na direção z. O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e é dado por B(t)=B0(sen omega t) k. Calcule o campo elétrico induzido, E (módulo, direção e sentido) em torno do solenoide no plano x y numa distância r a partir do eixo de simetria do solenoide quando:
(a) r >= R e
(b) r <= R.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um solenoide com raio e uma corrente elétrica passando por ele. O campo magnético dentro do solenoide é uniforme e dado por . Precisamos calcular o campo elétrico induzido no plano a uma distância do eixo do solenoide para duas situações:
(a) quando (fora do solenoide) e
(b) quando (dentro do solenoide).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da indução eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético com o campo elétrico induzido.

Passo 2

Vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz:
oint E cdot dl = -dPhiBdt
onde é a integral do campo elétrico ao longo de um caminho fechado e é o fluxo magnético que passa por esse caminho.

Passo 3

Primeiro, identificamos o fluxo magnético . Para isso, precisamos conhecer a área pela qual o campo magnético está passando. Dependendo se ou , a área efetiva muda.

Passo 4

Vamos considerar o caso (a) PhiB = B(t) cdot pi R^2 = B0 sen omega t cdot pi R^2 . Nesse caso, todo o campo magnético do solenoide está contido dentro do caminho circular de raio . Então, o fluxo magnético é simplesmente o campo magnético dentro do solenoide multiplicado pela área do solenoide.

Passo 5

Agora, calculamos a derivada do fluxo magnético em relação ao tempo:

Passo 6

Aplicando a Lei de Faraday:
oint E cdot dl = -dPhiBdt Rightarrow E cdot 2pi r = -B0 omega cos omega t cdot pi R^2
Resolvendo para E = -B0 omega R^22 r cos omega t :

Passo 7

Agora, determinamos a direção e o sentido do campo elétrico induzido. Pela regra da mão direita, o campo elétrico induzido forma círculos concêntricos ao redor do eixo do solenoide no plano . O sentido é tal que, se o campo magnético está aumentando, o campo elétrico induzido tentará se opor a essa variação.

Passo 8

Para o caso (b) PhiB = B(t) cdot pi r^2 = B0 sen omega t cdot pi r^2 , o fluxo magnético passa por uma área menor, que é a área do círculo de raio :

Passo 9

Calculamos a derivada do fluxo magnético:
dPhiBdt = B0 omega cos omega t cdot pi r^2

Passo 10

Aplicando a Lei de Faraday:
E cdot 2pi r = -B0 omega cos omega t cdot pi r^2
Resolvendo para E = -B0 omega r2 cos omega t :

Resposta

(a) Para E = -B0 omega R^22 r cos omega t :
E = -B0 omega r2 cos omega t
O campo elétrico tem módulo , direcionado tangencialmente ao círculo no plano e no sentido horário (dependendo do sentido da variação do campo magnético).
(b) Para :
O campo elétrico tem módulo , direcionado tangencialmente ao círculo no plano e no sentido horário.

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