(
) - Um oscilador harmónico de
levemente amortecido tem uma frequência de oscilaçåo angular de
. (a) Se o deslocamento máximo de
ocorre quando
amortecimento constante
e
, qual é o deslocamento do objeto quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre oscilações harmônicas amortecidas. O que isso significa? Imagine um objeto vibrando para frente e para trás, como uma mola, mas com um leve atrito que faz as oscilações diminuírem com o tempo. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das oscilações amortecidas, que leva em conta a massa do objeto, a constante de amortecimento e a frequência angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o deslocamento
de um oscilador harmônico amortecido:
Aqui:
-
é o deslocamento máximo inicial, -
é a constante de amortecimento, -
é a massa do objeto, -
é a frequência angular amortecida.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos no problema:
- Massa
, - Constante de amortecimento
, - Frequência angular
, - Deslocamento máximo inicial
, - Tempo
.
Passo 4
Precisamos calcular a frequência angular amortecida
. A relação entre a frequência angular sem amortecimento
e a amortecida
é dada por:
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Agora, substituímos todos os valores na fórmula do deslocamento
:
Vamos simplificar passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos o expoente:
Então,
.
Passo 7
Agora, calculamos o argumento do cosseno:
E
.
Passo 8
Finalmente, multiplicamos tudo junto:
Resposta
O deslocamento do objeto quando
é aproximadamente 0,371 metros.
Exercícios relacionados
Os pontos
e
estão nos vértices de um triângulo equilátero com
de lado. Cargas iguais e positivas de
são colocadas em
e
. a) Qual é o potencial no ponto c? b) Qual é o trabalho necessário para trazer cargas positivas de
do infinito até o ponto
se as outras cargas forem mantidas fixas? c) Responda os itens a e b considerando que a carga
seja substituída por uma carga de
. R: a)
; b)
; c)
e
.
Considere um solenoide de raio
com uma corrente elétrica
percorrendo o fio que compõe esse solenoide. O eixo de simetria do solenoide está orientado na direção z. O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e é dado por
. Calcule o campo elétrico induzido,
(módulo, direção e sentido) em torno do solenoide no plano
numa distância
a partir do eixo de simetria do solenoide quando:
(a) e
(b) .
(a)
(b)
(
) - Um prototipo eletrônico possui entre seus sensores um acelerometro, capaz de detectar aceleraçōes entre
e
. Dessa forma você prende o dispositivo a um sistema massa-mola, cuja amplitude de oscilaçâo é 20 cm . Quais os valores de periodos podem ser detectados neste aparato?
IDÉIAS-CHAVE (1) Esta situação é equivalente à da água descendo com velocidade
por um cano largo (o tanque) de seção reta
e depois se movendo (horizontalmente) com velocidade
em um cano estreito (o furo) de seção reta
. (2) Como toda água que passa pelo cano largo passa tambémí pelo cano estreito, a vazão
deve ser a mesma nos dois Cálculos: De acordo com a Eq. 14-24,
e portanto
Como
, vemos que
. Para aplicar a equação de Bernoulli tomamos o nível do furo como nosso nível de referência para a medida de altura (e, portanto, da energia potencial gravitacional). Notando que a pressão no alto đa caixa d
FIG. 14-21 A água sai de um tanque por um furo situado a uma distância
da superfície da água. A pressão na superfície da agua e no local do furo é
não seria um número real. Em vez disso, porém, vamos raciocinar um pouco. De acordo com a Eq. 14-35, a velocidade na parte estreita deve ser maior do que a velocidade
na parte larga para que os produtos
e
sejam iguais. Sabemos também que se a velocidade de um fluido aumenta enquanto ele escoa em um cano horizontal (como neste caso), a pressão do fluido diminui. Assim,
é maior que
, e
. Substituindo este resultado e os valores conhecidos na Eq. 14-38, obtemos
não seria um número real. Em vez disso, porém, vamos raciocinar um pouco. De acordo com a Eq. 14-35, a velocidade
(Resposta) pressão atmosférica
.
( O alto do tanque é representado pelo lado esquerdo da equação, e o furo pelo lado direito. O zero do lado direito indica que o furo está no nível de referência.) Antes de explicitar na Eq. 14-39, podemos usar nosso resultado de que
para simplificá-la: supomos que
, e portanto o termo
na Eq. 14-39 é desprezível em comparação com os outros termos, e o abandonamos. Explicitando
na equação restante, obtemos
( O alto do tanque é representado pelo lado esquerdo da equação, e o furo pelo lado direito. O zero do lado direito indica que o furo está no nível de referência.) Antes de explicitar
(Resposta)
Esta é a mesma velocidade que um objeto teria se caísse de uma altura a partir do repouso.
Esta é a mesma velocidade que um objeto teria se caísse de uma altura