Considere um solenóide com n voltas por unidade de comprimento, raio R, comprimento ell e conduzindo uma corrente I, cujo eixo coincide com o eixo z (uma extremidade está em z=-ell / 2 e a outra em z=+ell / 2). Como foi mostrado na aula, o campo magnético em um ponto no eixo z é dado por B= mu0 n I / 2(cos theta2-cos theta1). Para z gg ell e z gg R, os ângulos theta1 e theta2 são muito pequenos.
3a) Desenhe um diagrama e use-o para mostrar que, para estas condiçõs, os ângulos podem ser aproximados por theta2 approx R /(z+ell / 2) e theta1 approx R /(z-ell / 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo magnético de um solenóide. A gente tem um solenóide com algumas características específicas: número de voltas por unidade de comprimento ( n), raio ( R), comprimento ( ell) e que está conduzindo uma corrente ( I). O objetivo aqui é mostrar que, quando a distância z é muito maior que o comprimento ell e o raio R do solenóide (ou seja, z gg ell e z gg R), os ângulos theta1 e theta2 podem ser aproximados por theta2 approx Rz + ell/2 e theta1 approx Rz - ell/2. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e a aproximação de ângulos pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos theta1 e theta2. Imagine o solenóide como um cilindro longo com suas extremidades em z = -ell/2 e z = +ell/2. Quando a gente olha para um ponto no eixo z, distante z do centro do solenóide, os ângulos theta1 e theta2 são os ângulos que conectam esse ponto às extremidades do solenóide.

Passo 3

Como z é muito maior que ell e R, esses ângulos são bem pequenos. Isso é importante porque, quando o ângulo é pequeno, podemos usar uma aproximação simplificada: para ângulos pequenos, tan theta approx theta (em radianos). Essa é uma aproximação comum na trigonometria para facilitar cálculos.

Passo 4

Vamos desenhar mentalmente um triângulo onde um dos lados é o raio R do solenóide e o outro lado (adjacente ao ângulo) é a distância do ponto z até a extremidade do solenóide. Para theta2, a distância adjacente é z + ell/2, e para theta1, é z - ell/2.

Passo 5

Aplicando a aproximação de ângulos pequenos, temos:
theta2 approx tan theta2 = Rz + ell/2
e
theta1 approx tan theta1 = Rz - ell/2
Como theta é pequeno, tan theta approx theta, então:
theta2 approx Rz + ell/2
theta1 approx Rz - ell/2

Resposta

Portanto, para z gg ell e z gg R, os ângulos podem ser aproximados por:
theta2 approx Rz + ell/2
theta1 approx Rz - ell/2

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