Considere um solenóide com
voltas por unidade de comprimento, raio
, comprimento
e conduzindo uma corrente
, cujo eixo coincide com o eixo
(uma extremidade está em
e a outra em
. Como foi mostrado na aula, o campo magnético em um ponto no eixo
é dado por
. Para
e
, os ângulos
e
são muito pequenos.
3a) Desenhe um diagrama e use-o para mostrar que, para estas condiçõs, os ângulos podem ser aproximados por
e
.
3a) Desenhe um diagrama e use-o para mostrar que, para estas condiçõs, os ângulos podem ser aproximados por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o campo magnético de um solenóide. A gente tem um solenóide com algumas características específicas: número de voltas por unidade de comprimento (
), raio (
), comprimento (
) e que está conduzindo uma corrente (
). O objetivo aqui é mostrar que, quando a distância
é muito maior que o comprimento
e o raio
do solenóide (ou seja,
e
), os ângulos
e
podem ser aproximados por
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e a aproximação de ângulos pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses ângulos
e
. Imagine o solenóide como um cilindro longo com suas extremidades em
e
. Quando a gente olha para um ponto no eixo
, distante
do centro do solenóide, os ângulos
e
são os ângulos que conectam esse ponto às extremidades do solenóide.
Passo 3
Como
é muito maior que
e
, esses ângulos são bem pequenos. Isso é importante porque, quando o ângulo é pequeno, podemos usar uma aproximação simplificada: para ângulos pequenos,
(em radianos). Essa é uma aproximação comum na trigonometria para facilitar cálculos.
Passo 4
Vamos desenhar mentalmente um triângulo onde um dos lados é o raio
do solenóide e o outro lado (adjacente ao ângulo) é a distância do ponto
até a extremidade do solenóide. Para
, a distância adjacente é
, e para
, é
.
Passo 5
Aplicando a aproximação de ângulos pequenos, temos:
e
Como
é pequeno,
, então:
Resposta
Portanto, para
e
, os ângulos podem ser aproximados por: