A posição de uma particula em movimento retilíneo varia com o tempo de acordo com a relação x(t)=2+2 t^2+t^3, onde x e dado em metem segundos.
a) Como variam com o tempo a velocidade e a aceleração da partícula?
b) Calcule a velocidade média da partícula no intervalo de tempo compreendido entre os instantes t=1 set=4 s.
c) Calcule a aceleração media da partícula no intervalo de tempo compreendido entre os instantes t=2 s et =4 s.
d) Determine a variação da energia cinética, no intervalo de tempo compreendido entre os instantes t=2 s et =4 s.
Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta, e a posição dela em função do tempo é dada por $ x(t) = 2 + 2t^{2} + t^{3} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Vamos precisar entender sobre velocidade, aceleração e energia cinética para resolver as partes a, b, c e d desse exercício. Bora lá!

Passo 2

Parte a): Primeiro, vamos descobrir como a velocidade e a aceleração da partícula variam com o tempo.
Velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Ou seja, é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, temos:
v(t) = dx(t)dt
Vamos calcular isso para a nossa $ x(t) $:
x(t)
Então, a velocidade depende do tempo como $ v(t) = 4t + 3t^{2} $.
Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição ou a primeira derivada da velocidade:
v(t) = ddt(2 + 2t^2 + t^3) = 0 + 4t + 3t^2 = 4t + 3t^2
Portanto, a aceleração varia com o tempo como $ a(t) = 4 + 6t $.

Passo 3

Parte b): Agora, vamos calcular a velocidade média da partícula no intervalo de tempo entre $ t = 1 $ s e $ t = 4 $ s.
A velocidade média ($ v_{m} $) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
t = 1
Aqui, $ t_{1} = 1 $ s e $ t_{2} = 4 $ s. Vamos calcular $ x(1) $ e $ x(4) $:
t = 4
vm
Então, a variação da posição é:
vm = De
E a variação do tempo é:
t1 = 1
Assim, a velocidade média é:
t2 = 4

Passo 4

Parte c): Agora, vamos calcular a aceleração média no intervalo de tempo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s.
A aceleração média ($ a_{m} $) é dada pela variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
t = 2
Primeiro, vamos encontrar $ v(2) $ e $ v(4) $.
Usando a expressão da velocidade que encontramos anteriormente:
t = 4
Então,
am
am = De
Agora, a variação da velocidade é:
v(2)
A variação do tempo é:
v(4)
Portanto, a aceleração média é:
v(t) = 4t + 3t^2

Passo 5

Parte d): Por fim, vamos determinar a variação da energia cinética no intervalo de tempo entre $ t = 2 $ s e $ t = 4 $ s. Vamos também justificar nossa resposta.
A energia cinética ($ E_{c} $) de uma partícula é dada por:
t = 2
Onde $ m $ é a massa da partícula e $ v $ é a velocidade. Mas como a massa não foi fornecida no enunciado, vamos considerar que queremos a variação em termos de $ m $.
A variação da energia cinética ($ \Delta E_{c} $) é:
t = 4
Usando os valores de velocidade que já calculamos:
Ec
Então,
Ec = 12 m v^2
Justificativa: A variação da energia cinética depende da diferença entre os quadrados das velocidades nos instantes finais e iniciais. Como a velocidade aumenta de $ 20 $ m/s para $ 64 $ m/s, a energia cinética aumenta proporcionalmente ao quadrado dessas velocidades.

Resposta

a) A velocidade da partícula varia com o tempo segundo $ v(t) = 4t + 3t^{2} $ e a aceleração varia como $ a(t) = 4 + 6t $.
b) A velocidade média no intervalo de 1 s a 4 s é de 31 m/s.
c) A aceleração média no intervalo de 2 s a 4 s é de 22 m/s².
d) A variação da energia cinética no intervalo de 2 s a 4 s é de 1848 m J.

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