Um cubo sólido no
octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos
e
. Sua densidade é
.
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
. A densidade desse cubo é dada por
. O que a gente precisa encontrar aqui são os momentos de inércia desse cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para objetos tridimensionais, temos três momentos de inércia principais:
,
e
, que são em relação aos eixos
,
e
respectivamente.
Passo 3
A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo
é:
De forma semelhante, temos:
Aqui,
é o volume do cubo.
Passo 4
Como nosso cubo vai de 0 a 1 em cada direção (
,
,
), os limites das integrais vão de 0 a 1 para cada variável. Vamos calcular
primeiro:
Passo 5
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo separadamente.
Passo 6
Realizando as integrações:
Integrando em
:
Então:
Passo 7
Agora, integramos em
e
. Devido à simetria do cubo e da densidade, os momentos de inércia serão iguais nos três eixos:
Portanto, podemos simplificar nossos cálculos.
Passo 8
Após realizar todas as integrações, chegamos ao resultado: