Um cubo sólido no octante é limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z = 1. Sua densidade é rho(x, y, z) = x + y + z + 1.
Encontre: c) Os momentos de inércia.
Resp: Ix = Iy + Iz = 11/6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados e pelos planos , e . A densidade desse cubo é dada por . O que a gente precisa encontrar aqui são os momentos de inércia desse cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Basicamente, ele mede como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. Para objetos tridimensionais, temos três momentos de inércia principais: , e , que são em relação aos eixos , e respectivamente.

Passo 3

A fórmula geral para o momento de inércia em relação ao eixo é:
De forma semelhante, temos:
Aqui, é o volume do cubo.

Passo 4

Como nosso cubo vai de 0 a 1 em cada direção ( , , ), os limites das integrais vão de 0 a 1 para cada variável. Vamos calcular primeiro:

Passo 5

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Agora, integramos cada termo separadamente.

Passo 6

Realizando as integrações:
Integrando em :
Então:

Passo 7

Agora, integramos em e . Devido à simetria do cubo e da densidade, os momentos de inércia serão iguais nos três eixos:
Portanto, podemos simplificar nossos cálculos.

Passo 8

Após realizar todas as integrações, chegamos ao resultado:

Resposta

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