Considere o subespaço H subset R^4 definido por: H=span(3,-1,0,0),(0,1,0,-3),(-6,5,0,-9). Qual dos conjuntos abaixo é base de H^perp (complemento ortogonal de H) ?
(A) (-2,4,2,4),(3,4,-3,4)
(B) (4,12,3,4),(3,9,4,3)
© (-2,4,2,4)
(D) (4,12,3,4)
(E) (3,4,-3,4)
(F) (4,12,3,4),(3,4,-3,4)
(G) (-2,4,2,4),(3,9,4,3)
(H) (3,9,4,3)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão nos pede para encontrar qual dos conjuntos fornecidos é uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, o que significa o complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço H = span(3, -1, 0, 0), (0, 1, 0, -3), (-6, 5, 0, -9) dado por:
Nosso objetivo é encontrar , que consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em .

Passo 3

Para encontrar Se existe a e b tais que a(3, -1, 0, 0) + b(0, 1, 0, -3) = (-6, 5, 0, -9) , precisamos primeiro determinar a dimensão de 3a = -6 Rightarrow a = -2 . Observando os vetores que geram -1(-2) + b = 5 Rightarrow 2 + b = 5 Rightarrow b = 3 , vemos que são três vetores em -3b = -9 Rightarrow b = 3 . Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
Vamos ver se o terceiro vetor pode ser escrito como combinação linear dos dois primeiros:
Resolvendo:
Tudo confere! Então, o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros, o que significa que a dimensão de é 2.

Passo 4

Sabendo que dim(H^perp) = 4 - dim(H) = 2 e está em , a dimensão de será:
Então, é um subespaço de dimensão 2. Agora, precisamos encontrar dois vetores que formem uma base para .

Passo 5

Para encontrar v cdot (3, -1, 0, 0) = 0 , vamos encontrar todos os vetores v cdot (0, 1, 0, -3) = 0 em 3x - y = 0 (1) que satisfazem:
y - 3w = 0 (2)
3x - 3w = 0 Rightarrow x = w
Ou seja:
v = (w, 3w, z, w) = w(1, 3, 0, 1) + z(0, 0, 1, 0)
, (1, 3, 0, 1),; (0, 0, 1, 0) ,
Da equação (2), temos . Substituindo na equação (1):
O componente é livre, então podemos escrever os vetores de como:
Portanto, uma base para é:

Passo 6

Agora, vamos verificar qual das opções fornecidas corresponde a essa base ou a uma base equivalente. Olhando as opções, vemos que a opção (B) é:
, (4, 12, 3, 4),; (3, 9, 4, 3) ,
Vamos conferir se esses vetores estão em (4, 12, 3, 4) cdot (3, -1, 0, 0) = 12 - 12 = 0 :
  1. Verificando ortogonalidade:
    (4, 12, 3, 4) cdot (0, 1, 0, -3) = 12 - 12 = 0
    (3, 9, 4, 3) cdot (3, -1, 0, 0) = 9 - 9 = 0
    (3, 9, 4, 3) cdot (0, 1, 0, -3) = 9 - 9 = 0
    c1(4, 12, 3, 4) + c2(3, 9, 4, 3) = (0, 0, 0, 0)
    Ambos os vetores são ortogonais a todos os geradores de 4c1 + 3c2 = 0 , então estão em 12c1 + 9c2 = 0 .
  2. Verificando a independência linear:
    3c1 + 4c2 = 0
    Resolvendo:
    A única solução é , então os vetores são linearmente independentes.

Resposta

A opção correta é a (B) .

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