Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
?
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear juntos! A questão nos pede para encontrar qual dos conjuntos fornecidos é uma base para o complemento ortogonal de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, o que significa o complemento ortogonal e como encontrar uma base para ele.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço
dado por:
Nosso objetivo é encontrar
, que consiste em todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos primeiro determinar a dimensão de
. Observando os vetores que geram
, vemos que são três vetores em
. Vamos verificar se eles são linearmente independentes.
Vamos ver se o terceiro vetor pode ser escrito como combinação linear dos dois primeiros:
Resolvendo:
Tudo confere! Então, o terceiro vetor é uma combinação linear dos dois primeiros, o que significa que a dimensão de
é 2.
Passo 4
Sabendo que
e
está em
, a dimensão de
será:
Então,
é um subespaço de dimensão 2. Agora, precisamos encontrar dois vetores que formem uma base para
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos encontrar todos os vetores
em
que satisfazem:
Ou seja:
Da equação (2), temos
. Substituindo na equação (1):
O componente
é livre, então podemos escrever os vetores de
como:
Portanto, uma base para
é:
Passo 6
Agora, vamos verificar qual das opções fornecidas corresponde a essa base ou a uma base equivalente. Olhando as opções, vemos que a opção (B) é:
Vamos conferir se esses vetores estão em
:
-
Verificando ortogonalidade:Ambos os vetores são ortogonais a todos os geradores de
, então estão em . -
Verificando a independência linear:Resolvendo:A única solução é
, então os vetores são linearmente independentes.
Resposta
A opção correta é a (B)
.