Dados valores amostrais de uma função f:[a, b] R, podemos estimar valores para a sua derivada f^prime nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos a=x0 cdots nos quais conhecemos os valores da função, f(xi)=yi, podemos estimar gi approx f^prime(xi) da seguinte forma:
  • para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [0,9], considere a seguinte malha: x0=0, x1=5, x2=6 e x3=9. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -235 & -310 & 514 & 0 0 & -310 & 16 & 215 0 & 0 & -13 & 13]
(B)
[rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -130 & -45 & 56 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13]
© [rrrr-15 & 15 & 0 & 0 -110 & 0 & 110 & 0 0 & -340 & -215 & 524 0 & 0 & -13 & 13]
(D) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -56 & 45 & 130 & 0 0 & -235 & -310 & 514 0 & 0 & -12 & 12]
(E) [rrrr-1 & 1 & 0 & 0 -34 & 23 & 112 & 0 0 & -215 & -16 & 310 0 & 0 & -12 & 12]
(F) Não sei

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função definida no intervalo com uma malha de pontos , , e . Sabemos os valores da função nesses pontos, , e queremos estimar a derivada nesses mesmos pontos, resultando em . Nosso objetivo é encontrar a matriz que realiza essa transformação linear: .
Para resolver isso, precisamos entender como calcular para pontos extremos e interiores usando as fórmulas fornecidas. Vamos seguir passo a passo para construir a matriz de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y05 - 0 = y1 - y05 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y29 - 6 = y3 - y23 , que são os valores nos pontos extremos.
Para :
Isso significa que é uma combinação linear de e com coeficientes e , respectivamente.
Para :
Assim, é uma combinação linear de e com coeficientes e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são nos pontos interiores. Utilizamos a fórmula mais complexa fornecida:
x0 = 0, x1 = 5, x2 = 6
onde
alpha1 = (6 - 5)(5 - 0)(6 - 0) = (1)(5)(6) = 30
Vamos calcular para g1 = -(6 - 5)^230 y0 + (6 - 5)^2 - (5 - 0)^230 y1 + (5 - 0)^230 y2 e g1 = -130 y0 + 1 - 2530 y1 + 2530 y2 = -130 y0 - 2430 y1 + 2530 y2 .
Para g1 = -130 y0 - 45 y1 + 56 y2 :
x1 = 5, x2 = 6, x3 = 9
alpha2 = (9 - 6)(6 - 5)(9 - 5) = (3)(1)(4) = 12
g2 = -(9 - 6)^212 y1 + (9 - 6)^2 - (6 - 5)^212 y2 + (6 - 5)^212 y3
Simplificando:
g2 = -912 y1 + 9 - 112 y2 + 112 y3 = -34 y1 + 812 y2 + 112 y3
Reduzindo as frações:
g2 = -34 y1 + 23 y2 + 112 y3
Para :
Simplificando:
Reduzindo as frações:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz de transformação T = -15 & 15 & 0 & 0 -130 & -45 & 56 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13 com base nas expressões encontradas para :

Resposta

A matriz que representa a transformação linear [rrrr -15 & 15 & 0 & 0 -130 & -45 & 56 & 0 0 & -34 & 23 & 112 0 & 0 & -13 & 13 ] é:
A alternativa correta é a letra (B).

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