Dados valores amostrais de uma função , podemos estimar valores para a sua derivada nos mesmos pontos. Assim, se temos uma malha de pontos nos quais conhecemos os valores da função, , podemos estimar da seguinte forma:
para os pontos extremos,
para os pontos interiores,
onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função definida no intervalo com uma malha de pontos , , e . Sabemos os valores da função nesses pontos, , e queremos estimar a derivada nesses mesmos pontos, resultando em . Nosso objetivo é encontrar a matriz que realiza essa transformação linear: .
Para resolver isso, precisamos entender como calcular para pontos extremos e interiores usando as fórmulas fornecidas. Vamos seguir passo a passo para construir a matriz de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular g0 = y1 - y0x1 - x0 = y1 - y05 - 0 = y1 - y05 e g3 = y3 - y2x3 - x2 = y3 - y29 - 6 = y3 - y23 , que são os valores nos pontos extremos.
Para :
Isso significa que é uma combinação linear de e com coeficientes e , respectivamente.
Para :
Assim, é uma combinação linear de e com coeficientes e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1 e alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1) , que são nos pontos interiores. Utilizamos a fórmula mais complexa fornecida: