Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma matriz de tamanho com duas propriedades principais:
Núcleo (Ker) de : É o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados por , resultam no vetor zero. Aqui, o núcleo é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer combinação linear desses vetores também estará no núcleo.
Imagem (Im) de : É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando por algum vetor. A imagem aqui é gerada pelo vetor , indicando que todas as colunas de são múltiplos desse vetor.
Além disso, sabemos que a entrada e precisamos encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e como eles se relacionam com a matriz . Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz com base na imagem fornecida. Como a imagem de é o espaço gerado por , isso significa que todas as colunas de são múltiplos desse vetor. Ou seja, podemos escrever da seguinte forma:
Aqui, k1, k2 e k3 são escalares que multiplicam o vetor (2, -1, 2) para formar cada coluna de A.
Passo 3
Agora, vamos utilizar a informação do núcleo de A. Sabemos que Ker A = span(-3, -2, 0), (3, 0, 2). Isso significa que qualquer vetor neste espaço, quando multiplicado por A, resulta no vetor zero.
Para que isso aconteça, cada coluna de A deve ser ortogonal a todos os vetores do núcleo. Vamos formalizar isso.
Seja v = (x, y, z) no núcleo, então A cdot v = 0. Ou seja:
[ 2k1 & 2k2 & 2k3 -1k1 & -1k2 & -1k3 2k1 & 2k2 & 2k3 x y z = 0 0 0 k1
k2
]
Isso nos dá um sistema de equações que devemos resolver para encontrar k3, e .
Passo 4
Vamos aplicar isso aos vetores que geram o núcleo. Primeiro, para o vetor (-3, -2, 0):