A3 times 3 é tal que Ker A=span(-3,-2,0),(3,0,2) e Imagem A=span(2,-1,2). Se a31=16, calcule a matriz A. Assinale abaixo o valor da entrada a13 :
(A) -29
(B) -28
© -27
(D) -26
(E) -25
(F) -24
(G) -23
(H) -22
(I) Não sei

Passo 1

Vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma matriz A de tamanho 3 times 3 com duas propriedades principais:
  1. Núcleo (Ker) de A: É o conjunto de todos os vetores que, quando multiplicados por A, resultam no vetor zero. Aqui, o núcleo é gerado pelos vetores (-3, -2, 0) e (3, 0, 2). Isso significa que qualquer combinação linear desses vetores também estará no núcleo.
  2. Imagem (Im) de A: É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos multiplicando A por algum vetor. A imagem aqui é gerada pelo vetor (2, -1, 2), indicando que todas as colunas de A são múltiplos desse vetor.
Além disso, sabemos que a entrada a31 = 16 e precisamos encontrar o valor de a13.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e como eles se relacionam com a matriz A. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da matriz A com base na imagem fornecida. Como a imagem de A é o espaço gerado por (2, -1, 2), isso significa que todas as colunas de A são múltiplos desse vetor. Ou seja, podemos escrever A da seguinte forma:
A = 2k1 & 2k2 & 2k3 -1k1 & -1k2 & -1k3 2k1 & 2k2 & 2k3
Aqui, k1, k2 e k3 são escalares que multiplicam o vetor (2, -1, 2) para formar cada coluna de A.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a informação do núcleo de A. Sabemos que Ker A = span(-3, -2, 0), (3, 0, 2). Isso significa que qualquer vetor neste espaço, quando multiplicado por A, resulta no vetor zero.
Para que isso aconteça, cada coluna de A deve ser ortogonal a todos os vetores do núcleo. Vamos formalizar isso.
Seja v = (x, y, z) no núcleo, então A cdot v = 0. Ou seja:

[
2k1 & 2k2 & 2k3 -1k1 & -1k2 & -1k3 2k1 & 2k2 & 2k3 x y z = 0 0 0
k1

k2
]
Isso nos dá um sistema de equações que devemos resolver para encontrar k3, e .

Passo 4

Vamos aplicar isso aos vetores que geram o núcleo. Primeiro, para o vetor (-3, -2, 0):
A cdot -3 -2 0 = 0
Multiplicando:
2k1(-3) + 2k2(-2) + 2k3(0) = 0 -6k1 -4k2 = 0 (Equação 1) çã
Para o vetor (3, 0, 2):
A cdot 3 0 2 = 0
Multiplicando:
2k1(3) + 2k2(0) + 2k3(2) = 0 6k1 + 4k3 = 0 (Equação 2) çã
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
  1. -6k1 -4k2 = 0
  2. 6k1 + 4k3 = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar relações entre k1, k2 e k3.
Da Equação 1:
-6k1 -4k2 = 0 Rightarrow 6k1 = -4k2 Rightarrow k1 = -23k2
Da Equação 2:
6k1 + 4k3 = 0 Rightarrow 6(-23k2) + 4k3 = 0 -4k2 + 4k3 = 0 Rightarrow 4k3 = 4k2 Rightarrow k3 = k2
Então, temos que:
k1 = -23k2 k3 = k2
Podemos escolher k2 como parâmetro livre. Vamos chamar k2 = t.
Então:
k1 = -23t k3 = t

Passo 6

Agora, vamos substituir esses valores na matriz A:
A = 2k1 & 2k2 & 2k3 -1k1 & -1k2 & -1k3 2k1 & 2k2 & 2k3 = 2(-23t) & 2t & 2t -1(-23t) & -t & -t 2(-23t) & 2t & 2t
Simplificando:
A = -43t & 2t & 2t 23t & -t & -t -43t & 2t & 2t

Passo 7

Sabemos que a entrada a31 = 16. Observando a matriz A, temos:
a31 = -43t = 16
Vamos resolver para t:
-43t = 16 Rightarrow t = 16 times (-34) Rightarrow t = -12

Passo 8

Agora que sabemos que t = -12, podemos determinar todas as entradas de A:
A = -43(-12) & 2(-12) & 2(-12) 23(-12) & -(-12) & -(-12) -43(-12) & 2(-12) & 2(-12) = 16 & -24 & -24 -8 & 12 & 12 16 & -24 & -24

Passo 9

Finalmente, precisamos encontrar o valor de a13. Observando a matriz final:
a13 = -24

Resposta

O valor da entrada a13 é -24.

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