Considere dada por .
(b) é sobrejetora? é injetora? Calcule .
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre transformações lineares. O enunciado nos pede para analisar se a transformação , definida por , é sobrejetora e injetora. Além disso, precisamos calcular a dimensão do núcleo de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, sobrejetividade, injetividade e núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e injetora.
Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se todo vetor no contradomínio é imagem de pelo menos um vetor no domínio .
Injetora: Uma transformação é injetora se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes no contradomínio, ou seja, se implica .
Também precisamos calcular o núcleo de , que é o conjunto de todos os polinômios em tais que .
Passo 3
Vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se, para qualquer vetor em , existe um polinômio em tal que .
Observamos que . Notamos que o primeiro e o terceiro componentes são iguais, ou seja, . Portanto, para existir, é necessário que .
Isso significa que nem todo vetor em pode ser atingido por , pois existe a condição que deve ser satisfeita. Assim, não é sobrejetora.
Passo 4
Agora, vamos verificar se é injetora. Para isso, assumimos que e queremos mostrar que isso implica .
Se , então:
Isso implica que:
Como é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, um polinômio pode ser escrito como . Sabemos que e . Então, se e , podemos ter múltiplos polinômios que satisfazem essas condições, mas que são diferentes entre si. Portanto, não é injetora.
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a dimensão do núcleo de , ou seja, .
O núcleo de é o conjunto de polinômios tais que:
Isso implica que:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os polinômios no núcleo de têm a forma:
Podemos fatorar :
Isso mostra que o núcleo de é gerado pelo polinômio , que é um subespaço de dimensão 1. Assim, .
Resposta
A transformação não é sobrejetora nem injetora, e a dimensão do núcleo de é 1.