Considere dada por .
(b) é sobrejetora? é injetora? Calcule .

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre transformações lineares. O enunciado nos pede para analisar se a transformação , definida por , é sobrejetora e injetora. Além disso, precisamos calcular a dimensão do núcleo de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, sobrejetividade, injetividade e núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser sobrejetora e injetora.
  • Sobrejetora: Uma transformação é sobrejetora se todo vetor no contradomínio é imagem de pelo menos um vetor no domínio .
  • Injetora: Uma transformação é injetora se vetores diferentes no domínio têm imagens diferentes no contradomínio, ou seja, se implica .
Também precisamos calcular o núcleo de , que é o conjunto de todos os polinômios em tais que .

Passo 3

Vamos verificar se é sobrejetora. Para isso, precisamos ver se, para qualquer vetor em , existe um polinômio em tal que .
Observamos que . Notamos que o primeiro e o terceiro componentes são iguais, ou seja, . Portanto, para existir, é necessário que .
Isso significa que nem todo vetor em pode ser atingido por , pois existe a condição que deve ser satisfeita. Assim, não é sobrejetora.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é injetora. Para isso, assumimos que e queremos mostrar que isso implica .
Se , então:
Isso implica que:
Como é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, um polinômio pode ser escrito como . Sabemos que e . Então, se e , podemos ter múltiplos polinômios que satisfazem essas condições, mas que são diferentes entre si. Portanto, não é injetora.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a dimensão do núcleo de , ou seja, .
O núcleo de é o conjunto de polinômios tais que:
Isso implica que:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os polinômios no núcleo de têm a forma:
Podemos fatorar :
Isso mostra que o núcleo de é gerado pelo polinômio , que é um subespaço de dimensão 1. Assim, .

Resposta

A transformação não é sobrejetora nem injetora, e a dimensão do núcleo de é 1.

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Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares:
d)
Considere o subespaço vetorial gerado pelo conjunto . Determine uma base de que esteja contida em .
Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo, fornece a quantidade de bombons de cada tipo que compõem as caixas grandes ou pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzidas em cada mês do trimestre de um determinado ano.
TABELA 1
Pequena Grande
Nozes 2 5
Coco 4 8
Morango 3 7
TABELA 2
JAN FEV MAR
Pequena 150 220 130
Grande 120 150 180
Se associarmos as matrizes
e às tabelas 13
respectivamente, o produto AB fornecerá:
a) a produção média de bombons por caixa fabricada.
b) a produção total de bombons por caixa fabricada.
c) a produção mensal de cada tipo de bombom.
d) o número de caixas fabricadas no trimestre.
e) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom.
Seja uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se , além de injetora, é sobrejetora, então .