Considere o subespaço vetorial U=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y+z=0 e -x+3 y+2 z=0. Determine um subespaço vetorial W de R^3 tal que R^3=U oplus W (U oplus W é a soma direta de U e W).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar um subespaço vetorial de tal que , onde é definido pelas equações e . Isso significa que queremos decompor em uma soma direta de e . Para isso, precisamos entender o que é uma soma direta e como encontrar um subespaço que complemente .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o subespaço x + 2y + z = 0 - x + 3y + 2z = 0 . Ele é definido pelas duas equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma base para .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 1 & | & 0 -1 & 3 & 2 & | & 0
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar.

Passo 4

Multiplicamos a primeira linha por 1 (continuando igual) e somamos à segunda linha para eliminar o 1 & 2 & 1 & | & 0 0 & 5 & 3 & | & 0 :
Agora, temos duas equações simplificadas.

Passo 5

Vamos resolver para uma das variáveis. Vamos expressar 5y + 3z = 0 Rightarrow y = -35 z em termos de x + 2(-35z) + z = 0 Rightarrow x - 65z + z = 0 Rightarrow x - 15z = 0 Rightarrow x = 15z na segunda equação:
Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:

Passo 6

Agora, podemos expressar todos os vetores de (x, y, z) = (15z, -35z, z) = z (15, -35, 1) em termos de :
Isso mostra que é uma linha no espaço, ou seja, um subespaço de dimensão 1, gerado pelo vetor .

Passo 7

Agora, para encontrar tal que , precisamos que:
  1. A dimensão de seja (pois ).
  2. e se intersectem apenas no vetor zero.

Passo 8

Uma maneira de encontrar é escolher dois vetores que não estejam em e que sejam linearmente independentes. Vamos escolher, por exemplo, os vetores e .

Passo 9

Precisamos verificar se esses vetores estão fora de x + 2y + z = 1 + 2(0) + 0 = 1 neq 0 . Para - x + 3y + 2z = -1 + 3(0) + 2(0) = -1 neq 0 :
Portanto, não está em .

Passo 10

Para x + 2y + z = 0 + 2(1) + 0 = 2 neq 0 :
- x + 3y + 2z = 0 + 3(1) + 2(0) = 3 neq 0
Então, também não está em .

Passo 11

Como W = span, (1, 0, 0), (0, 1, 0) , e não estão em e são linearmente independentes, podemos definir como o subespaço gerado por e :

Passo 12

Finalmente, verificamos que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em , e que . Portanto, é o complemento direto de em .

Resposta

Um subespaço vetorial complementar W = , (a, b, 0) mid a, b in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , ou seja:

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