Considere o subespaço vetorial
e
. Determine um subespaço vetorial
de
tal que
é a soma direta de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar um subespaço vetorial
de
tal que
, onde
é definido pelas equações
e
. Isso significa que queremos decompor
em uma soma direta de
e
. Para isso, precisamos entender o que é uma soma direta e como encontrar um subespaço que complemente
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o subespaço
. Ele é definido pelas duas equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar uma base para
.
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
Vamos usar a eliminação de Gauss para simplificar.
Passo 4
Multiplicamos a primeira linha por 1 (continuando igual) e somamos à segunda linha para eliminar o
:
Agora, temos duas equações simplificadas.
Passo 5
Vamos resolver para uma das variáveis. Vamos expressar
em termos de
na segunda equação:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Passo 6
Agora, podemos expressar todos os vetores de
em termos de
:
Isso mostra que
é uma linha no espaço, ou seja, um subespaço de dimensão 1, gerado pelo vetor
.
Passo 7
Agora, para encontrar
tal que
, precisamos que:
- A dimensão de
seja (pois ). -
e se intersectem apenas no vetor zero.
Passo 8
Uma maneira de encontrar
é escolher dois vetores que não estejam em
e que sejam linearmente independentes. Vamos escolher, por exemplo, os vetores
e
.
Passo 9
Precisamos verificar se esses vetores estão fora de
. Para
:
Portanto,
não está em
.
Passo 10
Para
:
Então,
também não está em
.
Passo 11
Como
e
não estão em
e são linearmente independentes, podemos definir
como o subespaço gerado por
e
:
Passo 12
Finalmente, verificamos que qualquer vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor em
e um vetor em
, e que
. Portanto,
é o complemento direto de
em
.
Resposta
Um subespaço vetorial complementar
é o conjunto de todos os vetores da forma
, ou seja:
Exercícios relacionados
Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Encontre uma base para
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Uma matriz
chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada uma de suas colunas, da diagonal principal e da outra diagonal são iguais. Prove que, se
, o conjunto
dos quadrados mágicos é um subespaço de dimensão
.
Considere os vetores
e
. Se
, determine uma base de
dentre os vetores dados.