Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. G=1-2 x, x^2-x^3, 1+x^2+2 x^3, 3+2 x+3 x^3 em P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar um conjunto de polinômios como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD) no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser LI ou LD e como usar combinações lineares para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é Linearmente Independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é LI se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta em zero, o conjunto é LD.

Passo 3

Vamos supor que existe uma combinação linear dos polinômios de a(1 - 2x) + b(x^2 - x^3) + c(1 + x^2 + 2x^3) + d(3 + 2x + 3x^3) = 0 que dá zero. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar valores para que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Vamos distribuir e agrupar os termos semelhantes:
a - 2ax + b x^2 - b x^3 + c + c x^2 + 2c x^3 + 3d + 2d x + 3d x^3 = 0
Agrupando os coeficientes de cada potência de (a + c + 3d) + (-2a + 2d)x + (b + c)x^2 + (-b + 2c + 3d)x^3 = 0 :

Passo 5

Para que essa equação seja igual a zero para todo a + c + 3d = 0 -2a + 2d = 0 b + c = 0 -b + 2c + 3d = 0 , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
-2a + 2d = 0 implies -2a = -2d implies a = d
Da terceira equação:
b + c = 0 implies b = -c

Passo 7

Substituindo a + c + 3d = d + c + 3d = 4d + c = 0 implies c = -4d na primeira equação:
b = 4d
E como :

Passo 8

Agora, substituímos - b + 2c + 3d = -4d + 2(-4d) + 3d = -4d -8d +3d = -9d = 0 e na quarta equação:
Isso implica que .

Passo 9

Se a = d = 0 c = -4d = 0 b = 4d = 0 , então:
Portanto, a única solução é .

Resposta

O conjunto é Linearmente Independente.

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