Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D. em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente classificar um conjunto de polinômios como Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD) no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser LI ou LD e como usar combinações lineares para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é Linearmente Independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é LI se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta em zero, o conjunto é LD.
Passo 3
Vamos supor que existe uma combinação linear dos polinômios de que dá zero. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar valores para que satisfaçam essa equação.
Passo 4
Vamos distribuir e agrupar os termos semelhantes:
Agrupando os coeficientes de cada potência de :
Passo 5
Para que essa equação seja igual a zero para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação:
-2a + 2d = 0 implies -2a = -2d implies a = d
Da terceira equação:
b + c = 0 implies b = -c
Passo 7
Substituindo a + c + 3d = d + c + 3d = 4d + c = 0 implies c = -4d na primeira equação:
b = 4d
E como :
Passo 8
Agora, substituímos - b + 2c + 3d = -4d + 2(-4d) + 3d = -4d -8d +3d = -9d = 0 e na quarta equação: