Sejam U=p in P2(R)) mid p(0)=0 e W=q in P2(R)) mid q(1)=0 subespaços vetoriais de P2(R). Encontre uma base para U cap W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos uma base para a interseção dos subespaços e no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . Ou seja, queremos descobrir quais polinômios satisfazem as duas condições: e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e resolver algumas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e . O subespaço é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2 que satisfazem . Isso quer dizer que, se escrevermos um polinômio geral , a condição implica que . Então, os polinômios em têm a forma .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o subespaço . Ele é formado por todos os polinômios de grau no máximo 2 que satisfazem . Usando a forma geral do polinômio , a condição nos dá a equação , ou seja, .

Passo 4

Mas lembrando que para os polinômios em , já sabemos que . Então, substituindo na equação de , temos . Isso significa que . Portanto, os polinômios que estão na interseção têm a forma , que pode ser fatorada como .

Passo 5

Então, todos os polinômios na interseção são múltiplos de . Isso quer dizer que a base para é formada por apenas esse polinômio, já que qualquer múltiplo dele ainda estará na interseção.

Resposta

Uma base para é .

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