Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Encontre uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrarmos uma base para a interseção dos subespaços
e
no espaço dos polinômios de grau no máximo 2,
. Ou seja, queremos descobrir quais polinômios satisfazem as duas condições:
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e resolver algumas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
e
. O subespaço
é formado por todos os polinômios
de grau no máximo 2 que satisfazem
. Isso quer dizer que, se escrevermos um polinômio geral
, a condição
implica que
. Então, os polinômios em
têm a forma
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o subespaço
. Ele é formado por todos os polinômios
de grau no máximo 2 que satisfazem
. Usando a forma geral do polinômio
, a condição
nos dá a equação
, ou seja,
.
Passo 4
Mas lembrando que para os polinômios em
, já sabemos que
. Então, substituindo
na equação de
, temos
. Isso significa que
. Portanto, os polinômios que estão na interseção
têm a forma
, que pode ser fatorada como
.
Passo 5
Então, todos os polinômios na interseção
são múltiplos de
. Isso quer dizer que a base para
é formada por apenas esse polinômio, já que qualquer múltiplo dele ainda estará na interseção.
Resposta
Uma base para
é
.
Exercícios relacionados
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
em
.
Considere o subespaço vetorial
e
. Determine um subespaço vetorial
de
tal que
é a soma direta de
e
.
Uma matriz
chama-se um quadrado mágico quando a soma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada uma de suas colunas, da diagonal principal e da outra diagonal são iguais. Prove que, se
, o conjunto
dos quadrados mágicos é um subespaço de dimensão
.