Considere a superficie
dada implicitamente por
Calcule as derivadas
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação
, onde
é uma função de
e
, ou seja,
. A tarefa é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, que são
e
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas em uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
. Vamos começar diferenciando em relação a
.
A equação original é:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
-
-
(porque é tratado como constante em relação a ) -
(usando a regra da cadeia) -
(usando a regra do produto)
Substituindo esses resultados na equação derivada:
Passo 4
Agora, vamos reunir os termos que contêm
de um lado da equação:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 5
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Calculando cada derivada:
-
(porque é constante em relação a ) -
-
-
Substituindo na equação derivada:
Passo 6
Reunindo os termos com
de um lado:
Fatorando
:
Isolando
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
As derivadas parciais são:
e