Considere a superficie z=f(x, y) dada implicitamente por
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
Calcule as derivadas partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície definida pela equação , onde é uma função de e , ou seja, . A tarefa é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , que são e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas em uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação dada. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 = -4 x y z e depois em relação a ddx(x^2) + ddx(2 y^2) + ddx(2 z^2) = ddx(-4 x y z) , tratando como uma função de e . Vamos começar diferenciando em relação a .
A equação original é:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada individualmente:
  1. 2x + 0 + 4 z partial zpartial x = -4 y z - 4 x y partial zpartial x
  2. (porque é tratado como constante em relação a )
  3. (usando a regra da cadeia)
  4. (usando a regra do produto)
Substituindo esses resultados na equação derivada:

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos que contêm 4 z partial zpartial x + 4 x y partial zpartial x = -4 y z - 2x de um lado da equação:
partial zpartial x (4 z + 4 x y) = -4 y z - 2x
Fatorando partial zpartial x = -4 y z - 2x4 z + 4 x y :
partial zpartial x = -2 y z - x2 z + 2 x y
Agora, isolamos :
Simplificando dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 5

Agora, vamos repetir o processo para encontrar ddy(x^2) + ddy(2 y^2) + ddy(2 z^2) = ddy(-4 x y z) . Diferenciando a equação original em relação a 0 + 4 y + 4 z partial zpartial y = -4 x z - 4 x y partial zpartial y :
Calculando cada derivada:
  1. (porque é constante em relação a )
Substituindo na equação derivada:

Passo 6

Reunindo os termos com 4 z partial zpartial y + 4 x y partial zpartial y = -4 x z - 4 y de um lado:
partial zpartial y (4 z + 4 x y) = -4 x z - 4 y
Fatorando partial zpartial y = -4 x z - 4 y4 z + 4 x y :
partial zpartial y = -x z - yz + x y
Isolando :
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2 y z - x2 z + 2 x y
e
partial zpartial y = -x z - yz + x y

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