Considere a superficie dada implicitamente por
Calcule as derivadas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga as variáveis
,
e
:
Queremos descobrir como
muda em relação a
e
. Isso envolve calcular as derivadas parciais
e
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a
, tratando
como constante e
como função de
e
.
Diferenciando cada termo:
- Diferente de
em relação a :
- Diferente de
em relação a :
- Diferente de
em relação a :
Usamos a regra do produto:
- Diferente de
em relação a :
Somando tudo:
Agora, isolamos
:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Similarmente, diferenciamos a equação original em relação a
, tratando
como constante.
Diferenciando cada termo:
- Diferente de
em relação a :
- Diferente de
em relação a :
Usamos a regra do produto:
- Diferente de
em relação a :
- Diferente de
em relação a :
Somando tudo:
Agora, isolamos
:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são: