Considere a superficie dada implicitamente por
x^2 y+2 y^2 z+3 x z^2=4
Calcule as derivadas partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga as variáveis x^2 y + 2 y^2 z + 3 x z^2 = 4 , e :
Queremos descobrir como muda em relação a e . Isso envolve calcular as derivadas parciais e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partialpartial x(x^2 y) = 2x y . Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a partialpartial x(2 y^2 z) = 2 y^2 partial zpartial x , tratando partialpartial x(3 x z^2) = 3 z^2 + 6 x z partial zpartial x como constante e partialpartial x(4) = 0 como função de 2x y + 2 y^2 partial zpartial x + 3 z^2 + 6 x z partial zpartial x = 0 e (2 y^2 + 6 x z) partial zpartial x = - (2x y + 3 z^2) .
Diferenciando cada termo:
  1. Diferente de partial zpartial x = - (2x y + 3 z^2) 2 y^2 + 6 x z em relação a :
  1. Diferente de em relação a :
  1. Diferente de em relação a :
    Usamos a regra do produto:
  1. Diferente de em relação a :
Somando tudo:
Agora, isolamos :
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar partialpartial y(x^2 y) = x^2 . Similarmente, diferenciamos a equação original em relação a partialpartial y(2 y^2 z) = 4 y z + 2 y^2 partial zpartial y , tratando partialpartial y(3 x z^2) = 6 x z partial zpartial y como constante.
Diferenciando cada termo:
  1. Diferente de partialpartial y(4) = 0 em relação a x^2 + 4 y z + 2 y^2 partial zpartial y + 6 x z partial zpartial y = 0 :
(2 y^2 + 6 x z) partial zpartial y = - (x^2 + 4 y z)
  1. Diferente de partial zpartial y = - (x^2 + 4 y z) 2 y^2 + 6 x z em relação a :
    Usamos a regra do produto:
  1. Diferente de em relação a :
  1. Diferente de em relação a :
Somando tudo:
Agora, isolamos :
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - (2x y + 3 z^2) 2 y^2 + 6 x z
partial zpartial y = - (x^2 + 4 y z) 2 y^2 + 6 x z

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