Seja uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se , além de injetora, é sobrejetora, então .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Estamos olhando para uma transformação linear que é injetora e também sobrejetora. Nosso objetivo aqui é provar que, se tem essas duas propriedades (é injetora e sobrejetora), então as dimensões de e são iguais, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser injetora. Uma transformação linear é injetora se sempre que , então . Isso basicamente significa que não “colapsa” diferentes vetores de para o mesmo vetor em .
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa ser sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, “cobre” todo o espaço .
Passo 4
Sabemos que, para transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, ser injetora implica que a dimensão do domínio é menor ou igual à dimensão do contradomínio , ou seja:
Isso ocorre porque cada vetor em é mapeado para um vetor único em , mas pode ter mais “espaço” para acomodar todos esses vetores.
Passo 5
Por outro lado, ser sobrejetora implica que a dimensão do contradomínio é menor ou igual à dimensão do domínio :
Isso acontece porque todo vetor em precisa ser alcançado por algum vetor em , então precisa ter “pelo menos” tanta dimensão quanto .
Passo 6
Agora, juntando essas duas desigualdades:
A única possibilidade é que . Ou seja, as dimensões de e devem ser iguais.
Resposta
Portanto, se uma transformação linear é injetora e sobrejetora, então .