Seja uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja um subespaço não nulo. Prove que:
(b) Se , além de injetora, é sobrejetora, então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita. Estamos olhando para uma transformação linear que é injetora e também sobrejetora. Nosso objetivo aqui é provar que, se tem essas duas propriedades (é injetora e sobrejetora), então as dimensões de e são iguais, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser injetora. Uma transformação linear é injetora se sempre que , então . Isso basicamente significa que não “colapsa” diferentes vetores de para o mesmo vetor em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa ser sobrejetora. Uma transformação linear é sobrejetora se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, “cobre” todo o espaço .

Passo 4

Sabemos que, para transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensão finita, ser injetora implica que a dimensão do domínio é menor ou igual à dimensão do contradomínio , ou seja:
Isso ocorre porque cada vetor em é mapeado para um vetor único em , mas pode ter mais “espaço” para acomodar todos esses vetores.

Passo 5

Por outro lado, ser sobrejetora implica que a dimensão do contradomínio é menor ou igual à dimensão do domínio :
Isso acontece porque todo vetor em precisa ser alcançado por algum vetor em , então precisa ter “pelo menos” tanta dimensão quanto .

Passo 6

Agora, juntando essas duas desigualdades:
A única possibilidade é que . Ou seja, as dimensões de e devem ser iguais.

Resposta

Portanto, se uma transformação linear é injetora e sobrejetora, então .

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Uma fábrica de doces produz bombons de nozes, coco e morango, que são vendidos acondicionados em caixas grandes ou pequenas. A tabela 1 abaixo, fornece a quantidade de bombons de cada tipo que compõem as caixas grandes ou pequenas, e a tabela 2 fornece a quantidade de caixas de cada tipo produzidas em cada mês do trimestre de um determinado ano.
TABELA 1
Pequena Grande
Nozes 2 5
Coco 4 8
Morango 3 7
TABELA 2
JAN FEV MAR
Pequena 150 220 130
Grande 120 150 180
Se associarmos as matrizes
e às tabelas 13
respectivamente, o produto AB fornecerá:
a) a produção média de bombons por caixa fabricada.
b) a produção total de bombons por caixa fabricada.
c) a produção mensal de cada tipo de bombom.
d) o número de caixas fabricadas no trimestre.
e) em cada coluna a produção trimestral de um tipo de bombom.
Considere dada por .
(b) é sobrejetora? é injetora? Calcule .
Seja o primeiro quadrante do plano , ou seja,
b) Determine um vetor específico em e um escalar específico tal que não pertence à . (Isso é suficiente para mostrar que não é um espaço vetorial.)
Se uma matriz A é tal que , ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e
Os termos e da matriz M , valem respectivamente: