Considere T uma transformação linear cuja imagem é gerada por
Im T=[(1,0,1) ;(1,1,0) ;(-1,0,-1) ;(0,-1,1)]
Determine:
(a) T: R^4 longrightarrow R^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma transformação linear que vai de para . A imagem dessa transformação é gerada pelos vetores , , e . Nosso objetivo aqui é determinar como é essa transformação .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz que representa terá 3 linhas e 4 colunas, ou seja, uma matriz .

Passo 3

A imagem de , , é o conjunto de todos os vetores que pode produzir. Aqui, a imagem é gerada pelos vetores , , e . Isso significa que essas colunas vão fazer parte da matriz que representa .

Passo 4

No entanto, temos 4 vetores na imagem, mas como eles estão em , eles não podem ser todos linearmente independentes (pois o máximo de vetores independentes em é 3). Vamos verificar a dependência linear desses vetores.

Passo 5

Observando os vetores , , e , percebemos que o terceiro vetor é o negativo do primeiro vetor . Isso significa que o terceiro vetor não adiciona nada de novo à imagem, já que é apenas uma versão invertida do primeiro. Então, podemos ignorar esse vetor para simplificar.

Passo 6

Agora, ficamos com os vetores , e . Vamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base para , e podemos usar eles como colunas da nossa matriz .

Passo 7

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, eles são independentes.
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 1
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 1) + 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1(1) - 1(1) + 0 = 0 :
Como o determinante é zero, esses vetores são linearmente dependentes. Então, precisamos escolher apenas dois deles que sejam independentes.

Passo 8

Vamos escolher os vetores 1 & 1 0 & 1 1 & 0 e . Vamos verificar a independência deles:
O determinante dessa matriz é , que é diferente de zero. Então, esses dois vetores são independentes e formam uma base para .

Passo 9

Agora, como vai de para , precisamos definir a matriz de tamanho que tenha esses vetores como colunas. Porém, como temos apenas duas colunas independentes, as outras duas colunas serão combinações lineares dessas.

Passo 10

Podemos, por simplicidade, escolher as duas primeiras colunas como os vetores base e as outras duas colunas como zeros (já que elas não adicionam informação adicional à imagem).
Então, a matriz A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 fica assim:

Resposta

A transformação linear A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 é representada pela matriz:

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