Em relaçio a matriz A=(cccc1 & 2 & 3 & 4 -1 & 5 & -3 & -2 2 & 0 & 6 & 1 -2 & 0 & -6 & 0). Responda cada afirmação com
Verdadeiro ou Falso e justifique sua resposta:
(e) Os cofatores A41, A42, A43 e A44 sảo todos diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz e pede para verificar se os cofatores e são todos diferentes de zero. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre cofatores de uma matriz e como calcular determinantes de matrizes menores.

Passo 2

Primeiro, o que é um cofre? O cofator Aij = (-1)^i+j cdot det(Mij) de um elemento na posição de uma matriz é dado por:
Onde é a matriz menor que resulta ao remover a linha e a coluna da matriz original . O determinante dessa matriz menor é crucial para encontrar o cofator.

Passo 3

Vamos calcular M41 = 2 & 3 & 4 5 & -3 & -2 0 & 6 & 1 :
  1. Identificar a posição: det(M41) = 2 cdot ( (-3)(1) - (-2)(6) ) - 3 cdot (5 cdot 1 - (-2) cdot 0) + 4 cdot (5 cdot 6 - (-3) cdot 0) = 2 cdot ( -3 + 12 ) - 3 cdot 5 + 4 cdot 30 = 123 , A41 = (-1)^4+1 cdot 123 = -123 .
  2. Formar a matriz menor removendo a 4ª linha e 1ª coluna:
  1. Calcular o determinante de :
  1. Calcular o cofator:

Passo 4

Agora, M42 = 1 & 3 & 4 -1 & -3 & -2 2 & 6 & 1 :
  1. Posição: det(M42) = 1 cdot ( (-3)(1) - (-2)(6) ) - 3 cdot ( (-1)(1) - (-2)(2) ) + 4 cdot ( (-1)(6) - (-3)(2) ) = 0 , A42 = (-1)^4+2 cdot 0 = 0 .
  2. Matriz menor :
  1. Determinante de :
  1. Cofator:

Passo 5

Seguimos para M43 = 1 & 2 & 4 -1 & 5 & -2 2 & 0 & 1 :
  1. Posição: det(M43) = 1 cdot (5 cdot 1 - (-2) cdot 0) - 2 cdot ( (-1)(1) - (-2)(2) ) + 4 cdot ( (-1)(0) - 5 cdot 2 ) = 41 , A43 = (-1)^4+3 cdot 41 = 41 .
  2. Matriz menor :
  1. Determinante de :
  1. Cofator:

Passo 6

Por fim, M44 = 1 & 2 & 3 -1 & 5 & -3 2 & 0 & 6 :
  1. Posição: det(M44) = 1 cdot (5 cdot 6 - (-3) cdot 0) - 2 cdot ( (-1)(6) - (-3)(2) ) + 3 cdot ( (-1)(0) - 5 cdot 2 ) = 0 , A44 = (-1)^4+4 cdot 0 = 0 .
  2. Matriz menor :
  1. Determinante de :
  1. Cofator:

Resposta

Falso. Os cofatores e são iguais a zero.

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