Seja
uma base ortonormal do
. Para todo
definem-se os co-senos diretores de u em relação à base dada por
e
. Provar que:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal
no espaço tridimensional
. Para qualquer vetor
, são definidos os co-senos diretores
,
e
em relação a essa base. A questão quer que a gente prove duas coisas:
a) Que o vetor pode ser expresso como a norma de
vezes uma combinação linear dos
ponderados pelos co-senos.
b) Que a soma dos quadrados desses co-senos é igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de bases ortonormais e produtos internos (ou produto escalar).
a) Que o vetor
b) Que a soma dos quadrados desses co-senos é igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de bases ortonormais e produtos internos (ou produto escalar).
Passo 2
Vamos começar pelo item a). A ideia aqui é expressar o vetor
como uma combinação das bases
. Como a base é ortonormal, sabemos que qualquer vetor no espaço pode ser escrito dessa forma. Então, nosso objetivo é encontrar os coeficientes dessa combinação.
Passo 3
Sabemos que, em uma base ortonormal, o coeficiente que multiplica cada vetor da base na combinação linear é dado pelo produto interno do vetor com o vetor da base. Ou seja:
Isso porque as bases ortonormais possuem norma 1 e são mutuamente ortogonais, facilitando a decomposição do vetor.
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com os co-senos dados na questão. Lembrando que:
Podemos reescrever os produtos internos em termos dos co-senos:
Passo 5
Substituindo essas expressões na decomposição do vetor
, temos:
Fatorando
, obtemos:
Isso é exatamente o que o item a) nos pede para provar!
Passo 6
Agora, vamos para o item b). Queremos mostrar que a soma dos quadrados dos co-senos é igual a 1:
Para isso, vamos utilizar a propriedade do produto interno e a norma do vetor.
Passo 7
Sabemos que a norma de
pode ser expressa como:
Mas, de forma mais direta, multiplicando os coeficientes na decomposição que fizemos no item a):
Passo 8
Simplificando essa expressão:
Agora, dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero, pois
):
E voilà! Prova-se que a soma dos quadrados dos co-senos é igual a 1.
Resposta
a)
b)