Seja g1, g2, g3 uma base ortonormal do R^3. Para todo u in R^3 definem-se os co-senos diretores de u em relação à base dada por cos alpha=lang<= u, g1rang<=|u|, cos beta=lang<= u, g2rang<=|u| e cos gamma=. Provar que:
a) u=|u|((cos alpha) g1+(cos beta) g2+(cos gamma) g3);
b) cos ^2 alpha+cos ^2 beta+cos ^2 gamma=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma base ortonormal g1, g2, g3 no espaço tridimensional R^3. Para qualquer vetor u in R^3, são definidos os co-senos diretores cos alpha, cos beta e cos gamma em relação a essa base. A questão quer que a gente prove duas coisas:
a) Que o vetor u pode ser expresso como a norma de u vezes uma combinação linear dos gi ponderados pelos co-senos.
b) Que a soma dos quadrados desses co-senos é igual a 1.
Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de bases ortonormais e produtos internos (ou produto escalar).

Passo 2

Vamos começar pelo item a). A ideia aqui é expressar o vetor u como uma combinação das bases g1, g2, g3. Como a base é ortonormal, sabemos que qualquer vetor no espaço pode ser escrito dessa forma. Então, nosso objetivo é encontrar os coeficientes dessa combinação.

Passo 3

Sabemos que, em uma base ortonormal, o coeficiente que multiplica cada vetor da base na combinação linear é dado pelo produto interno do vetor com o vetor da base. Ou seja:
u = lang<= u, g1 rang<= g1 + lang<= u, g2 rang<= g2 + lang<= u, g3 rang<= g3
Isso porque as bases ortonormais possuem norma 1 e são mutuamente ortogonais, facilitando a decomposição do vetor.

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com os co-senos dados na questão. Lembrando que:
cos alpha = lang<= u, g1 rang<=|u|, cos beta = lang<= u, g2 rang<=|u|, cos gamma = lang<= u, g3 rang<=|u|
Podemos reescrever os produtos internos em termos dos co-senos:
lang<= u, gi rang<= = |u| cos thetai, onde i = 1,2,3

Passo 5

Substituindo essas expressões na decomposição do vetor u, temos:
u = |u| cos alpha , g1 + |u| cos beta , g2 + |u| cos gamma , g3
Fatorando |u|, obtemos:
u = |u| ( (cos alpha) g1 + (cos beta) g2 + (cos gamma) g3 )
Isso é exatamente o que o item a) nos pede para provar!

Passo 6

Agora, vamos para o item b). Queremos mostrar que a soma dos quadrados dos co-senos é igual a 1:
cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1
Para isso, vamos utilizar a propriedade do produto interno e a norma do vetor.

Passo 7

Sabemos que a norma de u pode ser expressa como:
|u|^2 = lang<= u, u rang<= = lang<= |u| ( (cos alpha) g1 + (cos beta) g2 + (cos gamma) g3 ), u rang<=
Mas, de forma mais direta, multiplicando os coeficientes na decomposição que fizemos no item a):
|u|^2 = (|u| cos alpha)^2 + (|u| cos beta)^2 + (|u| cos gamma)^2

Passo 8

Simplificando essa expressão:
|u|^2 = |u|^2 (cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma)
Agora, dividindo ambos os lados por |u|^2 (que é diferente de zero, pois u neq 0):
1 = cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma
E voilà! Prova-se que a soma dos quadrados dos co-senos é igual a 1.

Resposta

a) u = |u| ( (cos alpha) g1 + (cos beta) g2 + (cos gamma) g3 )
b) cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1

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