Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto A(2,1) seja igual à sua distância à reta y-2=0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação de uma curva. A situação é a seguinte: temos um ponto A(2,1) e uma reta y - 2 = 0. Queremos determinar a trajetória de um ponto que se move de tal forma que sua distância até o ponto A seja igual à sua distância até a reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o ponto que se move de P(x, y). Nosso objetivo é encontrar uma relação entre x e y que satisfaça a condição dada.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre o ponto P(x, y) e o ponto A(2,1). A fórmula para a distância entre dois pontos é:
Distância = raiz(x - xA)^2 + (y - yA)^2 â
Aplicando os valores:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância entre o ponto P(x, y) e a reta y - 2 = 0. A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta do tipo Ax + By + C = 0 é:
Distância = |Ax + By + C|raizA^2 + B^2 â
No nosso caso, a reta é y - 2 = 0, o que equivale a 0x + 1y - 2 = 0. Então:
|0 cdot x + 1 cdot y - 2|raiz0^2 + 1^2 = |y - 2|

Passo 5

Segundo a condição do exercício, essas duas distâncias são iguais:
raiz(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = |y - 2|
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (y - 2)^2

Passo 6

Vamos expandir os termos:
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 4y + 4
Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos y² de ambos os lados:
x^2 - 4x + 4 - 2y + 1 = -4y + 4
Agrupando os termos semelhantes:
x^2 - 4x + 5 - 2y = -4y + 4

Passo 7

Vamos isolar os termos com y:
x^2 - 4x + 5 + 4y - 2y = 4
Simplificando:
x^2 - 4x + 5 + 2y = 4
Agora, isolamos y:
2y = -x^2 + 4x - 1
Dividindo ambos os lados por 2:
y = -x^2 + 4x - 12

Resposta

A equação da curva é:
y = -x^2 + 4x - 12

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