Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua distância ao ponto
seja igual à sua distância à reta
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar a equação de uma curva. A situação é a seguinte: temos um ponto A(2,1) e uma reta y - 2 = 0. Queremos determinar a trajetória de um ponto que se move de tal forma que sua distância até o ponto A seja igual à sua distância até a reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre distâncias entre pontos e retas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o ponto que se move de P(x, y). Nosso objetivo é encontrar uma relação entre x e y que satisfaça a condição dada.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre o ponto P(x, y) e o ponto A(2,1). A fórmula para a distância entre dois pontos é:
Aplicando os valores:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância entre o ponto P(x, y) e a reta y - 2 = 0. A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta do tipo Ax + By + C = 0 é:
No nosso caso, a reta é y - 2 = 0, o que equivale a 0x + 1y - 2 = 0. Então:
Passo 5
Segundo a condição do exercício, essas duas distâncias são iguais:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 6
Vamos expandir os termos:
Agora, vamos simplificar a equação. Primeiro, subtraímos y² de ambos os lados:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Vamos isolar os termos com y:
Simplificando:
Agora, isolamos y:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A equação da curva é: