Considere T: R^3 R^3, tal que T(e1)=(1,5,7), T(e2)=(8,4,-16) e T(e3)=(-2,-2,-16)
Determine o núcleo de T; e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear, onde temos uma transformação linear . O que precisamos descobrir é o núcleo dessa transformação, que é basicamente o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero. Além disso, queremos encontrar uma base para esse núcleo, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação T(e1) = (1, 5, 7), T(e2) = (8, 4, -16), T(e3) = (-2, -2, -16) atua nos vetores da base canônica A = 1 & 8 & -2 5 & 4 & -2 7 & -16 & -16 de . Sabemos que:
Podemos representar por uma matriz onde cada coluna é a imagem de respectivamente:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o núcleo de Ax = 0 , que é o conjunto de vetores 1x1 + 8x2 - 2x3 = 0 5x1 + 4x2 - 2x3 = 0 7x1 - 16x2 - 16x3 = 0 tal que . Matemáticamente, isso fica:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar 5x1 + 4x2 - 2x3 - 5(x1 + 8x2 - 2x3) = 0 - 0 5x1 + 4x2 - 2x3 - 5x1 - 40x2 + 10x3 = 0 -36x2 + 8x3 = 0 . A gente pode usar o método de eliminação de Gauss para simplificar:
Primeiro, subtraiamos 5 vezes a primeira equação da segunda equação:
-9x2 + 2x3 = 0 Rightarrow x2 = 29x3
Simplificando:
7x1 - 16(29x3) - 16x3 = 0 7x1 - 329x3 - 16x3 = 0 7x1 - 1769x3 = 0 Rightarrow x1 = 17663x3
Agora, substituímos na terceira equação:

Passo 5

Agora, podemos expressar x1 = 17663t, x2 = 29t, x3 = t e x = t cdot ( 17663, 29, 1 ) em função de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Assim, temos:
Podemos escrever o vetor como:

Resposta

O núcleo de ( 17663, 29, 1 ) é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Uma base para esse subespaço é o vetor:

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