Considere , tal que e
Determine o núcleo de T; e uma base para esse subespaço.
Passo 1
Beleza, então vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear, onde temos uma transformação linear . O que precisamos descobrir é o núcleo dessa transformação, que é basicamente o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero. Além disso, queremos encontrar uma base para esse núcleo, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o núcleo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a transformação atua nos vetores da base canônica de . Sabemos que:
Podemos representar por uma matriz onde cada coluna é a imagem de respectivamente:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de vetores tal que . Matemáticamente, isso fica:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar . A gente pode usar o método de eliminação de Gauss para simplificar:
Primeiro, subtraiamos 5 vezes a primeira equação da segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos na terceira equação:
Passo 5
Agora, podemos expressar e em função de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Assim, temos:
Podemos escrever o vetor como:
Resposta
O núcleo de é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Uma base para esse subespaço é o vetor: