Considere , tal que e
Determine o núcleo de T; e uma base para esse subespaço.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear, onde temos uma transformação linear . O que precisamos descobrir é o núcleo dessa transformação, que é basicamente o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero. Além disso, queremos encontrar uma base para esse núcleo, ou seja, um conjunto de vetores que gera todo o núcleo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a transformação atua nos vetores da base canônica de . Sabemos que:
Podemos representar por uma matriz onde cada coluna é a imagem de respectivamente:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de vetores tal que . Matemáticamente, isso fica:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar . A gente pode usar o método de eliminação de Gauss para simplificar:
Primeiro, subtraiamos 5 vezes a primeira equação da segunda equação:
Simplificando:
Agora, substituímos na terceira equação:

Passo 5

Agora, podemos expressar e em função de . Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Assim, temos:
Podemos escrever o vetor como:

Resposta

O núcleo de é formado por todos os vetores da forma , onde é um número real. Uma base para esse subespaço é o vetor:

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Resolva o sistema linear
Considere , tal que e
Determine a imagem de T; e uma base para esse subespaço.
Determina a inversa da matriz
Determine os autovalores e autovetores associados à matriz