Determine os autovalores e autovetores associados à matriz A=[cc4 & -1 2 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz 4 & -1 2 & 1. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajudam a entender melhor as propriedades de uma matriz, como ela se comporta quando aplicada a vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I = 4 & -1 2 & 1 - lambda 1 & 0 0 & 1 = 4 - lambda & -1 2 & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda) - (-1)(2) = (4 - lambda)(1 - lambda) + 2
Vamos expandir:
= 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) + 2 = 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 + 2
Simplificando:
= lambda^2 - 5lambda + 6

Passo 5

Resolvemos a equação característica lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3) = 0 . Para encontrar os valores de , podemos fatorar o polinômio:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 7

Para A - 2I = 4 - 2 & -1 2 & 1 - 2 = 2 & -1 2 & -1 :
2v1 - v2 = 0 implies v2 = 2v1
Resolvendo 1 2:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Passo 8

Para A - 3I = 4 - 3 & -1 2 & 1 - 3 = 1 & -1 2 & -2 :
v1 - v2 = 0 implies v2 = v1
Resolvendo 1 1:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Resposta

Os autovalores da matriz v1 = 1 2 e v2 = 1 1 são e , com os respectivos autovetores:

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