Determine os autovalores e autovetores associados à matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajudam a entender melhor as propriedades de uma matriz, como ela se comporta quando aplicada a vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação característica . Para encontrar os valores de , podemos fatorar o polinômio:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 7

Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Passo 8

Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .

Resposta

Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores:

Exercícios relacionados

Determina a inversa da matriz
Considere , tal que e
Determine o núcleo de T; e uma base para esse subespaço.
Verifique se os subconjuntos a seguir são subespaços vetoriais. Se sim, mostre que são validas as condições de S.V . Caso não, exiba um contra-exemplo.
Sejam e . Determine , tal que .