Determine os autovalores e autovetores associados à matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajudam a entender melhor as propriedades de uma matriz, como ela se comporta quando aplicada a vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, usamos a equação característica, que é dada por
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação característica
. Para encontrar os valores de
, podemos fatorar o polinômio:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada autovalor, resolvemos
, onde
é o autovetor.
Passo 7
Para
:
Resolvendo
:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Passo 8
Para
:
Resolvendo
:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor é
.
Resposta
Os autovalores da matriz
são
e
, com os respectivos autovetores: