Determine os autovalores e autovetores associados à matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, que basicamente nos ajudam a entender melhor as propriedades de uma matriz, como ela se comporta quando aplicada a vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, usamos a equação característica, que é dada por , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Vamos calcular :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação característica . Para encontrar os valores de , podemos fatorar o polinômio:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada . Para cada autovalor, resolvemos , onde é o autovetor.
Passo 7
Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .
Passo 8
Para :
Resolvendo :
Escolhendo , temos . Então, um autovetor é .
Resposta
Os autovalores da matriz são e , com os respectivos autovetores: