Considere , tal que e
Determine a imagem de T; e uma base para esse subespaço.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede: temos uma transformação linear definida pelas imagens dos vetores da base canônica . O conteúdo envolvido aqui é Transformações Lineares e Espaços Vetoriais. Precisamos determinar a imagem de e também encontrar uma base para esse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de uma transformação linear. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores de . Ou seja, é o conjunto .
Passo 3
Para encontrar , vamos expressar a transformação em termos de suas imagens nos vetores da base canônica. Sabemos que qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear de :
Aplicando a :
Isso nos dá uma maneira de visualizar todos os vetores na imagem de .
Passo 4
Agora, para determinar a imagem de , precisamos identificar o subespaço gerado pelos vetores , e . A imagem de será o espaço vetorial formado por todas as combinações lineares desses três vetores.
Passo 5
Para encontrar uma base para , precisamos determinar quais desses vetores são linearmente independentes. Se algum deles puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele não será necessário na base.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e reduzir para a forma escalonada:
Passo 6
Aplicando a eliminação de Gauss para reduzir a matriz:
Primeira coluna: Mantemos o primeiro pivot igual a 1. Vamos eliminar os elementos abaixo dele.
Segunda coluna: Após a eliminação, verificamos se existe outro pivot independente.
Terceira coluna: Continuamos o processo para verificar a independência dos vetores.
Após realizar as operações, percebemos que apenas dois vetores são suficientes para gerar a imagem, ou seja, há duas colunas pivot, indicando que temos duas dimensões na imagem de .
Passo 7
Concluímos que os vetores e são linearmente independentes e formam uma base para .
Resposta
A imagem de é o subespaço de gerado pelos vetores e . Uma base para esse subespaço é .