Resolva o sistema linear
c x+y+3 z+w=3 3 x+4 y+3 z+2 w=2 3 x+4 y+5 z+2 w=3 4 x-3 y+5 z+2 w=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que envolve quatro variáveis: , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares, que a gente pode resolver usando métodos de eliminação ou substituição. Vamos precisar manipular as equações para achar os valores dessas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada:
x + y + 3z + w = 3 (1) 3x + 4y + 3z + 2w = 2 (2) 3x + 4y + 5z + 2w = 3 (3) 4x - 3y + 5z + 2w = 1 (4)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma variável. Observando as equações, vamos tentar eliminar 2(x + y + 3z + w) = 2 times 3 2x + 2y + 6z + 2w = 6 (1') . Para isso, vamos manipular as equações de modo que os coeficientes de (2x + 2y + 6z + 2w) - (3x + 4y + 3z + 2w) = 6 - 2 - x - 2y + 3z = 4 (5) fiquem iguais.
Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para igualar o coeficiente de na equação (2):
Agora, subtraímos a equação (2) da equação (1’):

Passo 4

Vamos fazer o mesmo com a equação (3). Subtraímos a equação (2) da equação (3):
(3x + 4y + 5z + 2w) - (3x + 4y + 3z + 2w) = 3 - 2 0x + 0y + 2z + 0w = 1 2z = 1 z = 12

Passo 5

Agora que sabemos que - x - 2y + 3(12) = 4 - x - 2y + 32 = 4 - x - 2y = 4 - 32 - x - 2y = 52 x + 2y = -52 (6) , podemos substituir esse valor na equação (5) para encontrar uma relação entre e :

Passo 6

Vamos usar a equação (1) para expressar x + y + 3(12) + w = 3 x + y + 32 + w = 3 x + y + w = 3 - 32 x + y + w = 32 w = 32 - x - y (7) em termos de , e :

Passo 7

Agora, vamos usar a equação (6) para expressar x = -52 - 2y (8) em termos de :

Passo 8

Substituímos w = 32 - (-52 - 2y) - y w = 32 + 52 + 2y - y w = 82 + y w = 4 + y (9) da equação (8) na equação (7) para encontrar :

Passo 9

Vamos agora substituir 4(-52 - 2y) - 3y + 5(12) + 2(4 + y) = 1 -10 - 8y - 3y + 52 + 8 + 2y = 1 -10 + 8 - 8y - 3y + 2y + 52 = 1 -2 - 9y + 52 = 1 da equação (8) e -2 + 52 - 9y = 1 12 - 9y = 1 -9y = 1 - 12 -9y = 12 y = -118 e na equação (4) para encontrar :
Simplificando:

Passo 10

Agora que temos x = -52 - 2(-118) x = -52 + 218 x = -52 + 19 x = -4518 + 218 x = -4318 , substituímos esse valor na equação (8) para encontrar :

Passo 11

Com w = 4 + (-118) w = 7218 - 118 w = 7118 , substituímos na equação (9) para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -4318 y = -118 z = 12 w = 7118

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