Considere que o tempo de vida de um dispositivo eletronico segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. Uma amostra iid de tamanho
é retirada. Qual é a distribuição aproximada da média amostral?
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem um dispositivo eletrônico cuja vida útil segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. Tiramos uma amostra independente e identicamente distribuída (iid) de tamanho
. O que queremos descobrir é qual é a distribuição aproximada da média dessa amostra. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições exponenciais e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida útil de um dispositivo. A distribuição exponencial com parâmetro
tem média
e variância
.
Passo 3
No nosso caso, o parâmetro é
, então a média da distribuição original é:
E a variância é:
Passo 4
Agora, queremos a distribuição da média amostral, que vamos chamar de
. Para grandes tamanhos de amostra (
grande), o Teorema Central do Limite diz que a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição normal, independente da distribuição original dos dados.
Passo 5
De acordo com o Teorema Central do Limite, a média amostral
terá média igual à média da distribuição original e variância igual à variância original dividida pelo tamanho da amostra. Então:
Passo 6
Portanto, a distribuição aproximada da média amostral
é uma distribuição normal com média
e variância
. Em termos formais:
Resposta
A média amostral
é aproximadamente distribuída como uma normal com média
e variância
, ou seja: