Considere que o tempo de vida de um dispositivo eletronico segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda=100. Uma amostra iid de tamanho n é retirada. Qual é a distribuição aproximada da média amostral?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem um dispositivo eletrônico cuja vida útil segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda = 100. Tiramos uma amostra independente e identicamente distribuída (iid) de tamanho n. O que queremos descobrir é qual é a distribuição aproximada da média dessa amostra. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições exponenciais e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente, como a vida útil de um dispositivo. A distribuição exponencial com parâmetro lambda tem média mu = dfrac1lambda e variância sigma^2 = dfrac1lambda^2.

Passo 3

No nosso caso, o parâmetro é lambda = 100, então a média da distribuição original é:
mu = dfrac1lambda = dfrac1100 = 0,01
E a variância é:
sigma^2 = dfrac1lambda^2 = dfrac110000 = 0,0001

Passo 4

Agora, queremos a distribuição da média amostral, que vamos chamar de barX. Para grandes tamanhos de amostra ( n grande), o Teorema Central do Limite diz que a distribuição da média amostral se aproxima de uma distribuição normal, independente da distribuição original dos dados.

Passo 5

De acordo com o Teorema Central do Limite, a média amostral barX terá média igual à média da distribuição original e variância igual à variância original dividida pelo tamanho da amostra. Então:
Média de barX = mu = 0,01 é
Variância de barX = dfracsigma^2n = dfrac0,0001n â

Passo 6

Portanto, a distribuição aproximada da média amostral barX é uma distribuição normal com média 0,01 e variância dfrac0,0001n. Em termos formais:
barX approx N(0,01, dfrac0,0001n)

Resposta

A média amostral barX é aproximadamente distribuída como uma normal com média 0,01 e variância dfrac0,0001n, ou seja:
barX approx N(0,01, dfrac0,0001n)

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