Suponha que
. Considere
. Proponha uma aproximação para a distribuição de
assumindo que os
s são independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias que seguem a distribuição de Poisson, representada por
. A gente tem
dessas variáveis,
, todas independentes, e queremos somar elas para formar uma nova variável
. O objetivo é encontrar uma aproximação para a distribuição de
. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre distribuições de Poisson e sobre como elas se comportam quando somamos variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média
e de forma independente uns dos outros.
Passo 3
Agora, quando a gente tem várias variáveis de Poisson independentes, como nossos
, a soma dessas variáveis também segue uma distribuição de Poisson. Isso é uma propriedade bem útil da distribuição de Poisson.
Passo 4
Então, se a gente soma
variáveis independente cada uma com parâmetro
, a distribuição resultante, que é a de
, também será de Poisson, mas com um novo parâmetro que é a soma dos parâmetros individuais. Ou seja, o parâmetro da nova distribuição será
.
Passo 5
Contudo, às vezes a gente prefere usar aproximações que facilitam os cálculos, especialmente quando
é grande. Uma aproximação comum para distribuições de Poisson com parâmetro grande é a distribuição normal. Isso porque, segundo o Teorema Central do Limite, a soma de muitas variáveis aleatórias independentes tende a seguir uma distribuição normal, independentemente da distribuição original.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso, se
for suficientemente grande, podemos aproximar a distribuição de
por uma distribuição normal com média igual a
e variância também igual a
.
Resposta
Então, uma boa aproximação para a distribuição de
é uma distribuição normal com média
e variância
, ou seja: