Suponha que Yi sim P(lambda). Considere X=sumi=1^n Yi. Proponha uma aproximação para a distribuição de X assumindo que os Yi s são independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre variáveis aleatórias que seguem a distribuição de Poisson, representada por P(lambda). A gente tem n dessas variáveis, Y1, Y2, dots, Yn, todas independentes, e queremos somar elas para formar uma nova variável X = sumi=1^n Yi. O objetivo é encontrar uma aproximação para a distribuição de X. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre distribuições de Poisson e sobre como elas se comportam quando somamos variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição de Poisson é usada para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos acontecem com uma taxa média lambda e de forma independente uns dos outros.

Passo 3

Agora, quando a gente tem várias variáveis de Poisson independentes, como nossos Yi sim P(lambda), a soma dessas variáveis também segue uma distribuição de Poisson. Isso é uma propriedade bem útil da distribuição de Poisson.

Passo 4

Então, se a gente soma n variáveis independente cada uma com parâmetro lambda, a distribuição resultante, que é a de X = sumi=1^n Yi, também será de Poisson, mas com um novo parâmetro que é a soma dos parâmetros individuais. Ou seja, o parâmetro da nova distribuição será nlambda.

Passo 5

Contudo, às vezes a gente prefere usar aproximações que facilitam os cálculos, especialmente quando n é grande. Uma aproximação comum para distribuições de Poisson com parâmetro grande é a distribuição normal. Isso porque, segundo o Teorema Central do Limite, a soma de muitas variáveis aleatórias independentes tende a seguir uma distribuição normal, independentemente da distribuição original.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso caso, se nlambda for suficientemente grande, podemos aproximar a distribuição de X por uma distribuição normal com média igual a nlambda e variância também igual a nlambda.

Resposta

Então, uma boa aproximação para a distribuição de X é uma distribuição normal com média nlambda e variância nlambda, ou seja:
X approx N(nlambda, , nlambda)

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